Schwartz & Schwarz

Dall’autobiografia di Schwartz al problema del triangolo ortico.

Laurent Schwartz (1915 – 2002) e Karl Hermann Amandus Schwarz (1843 – 1921): due personalità che non è solo una “t” nel cognome a distinguere, ma un secolo di storia e l’ampia gamma di specifiche questioni matematiche delle quali si sono occupati. Ad unirli c’è poi il fatto che se ne sono occupati bene, e tanto, da meritare, entrambi, un posto nella storia della matematica ed essere ricordati per i risultati ottenuti.

Ad esempio: per le distribuzioni il primo, per la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz il secondo.

Ad accomunarli ancora però, fortemente e naturalmente, c’è, insieme alla passione per la matematica, quella per l’insegnamento, cosa quest’ultima non comune a tutti i matematici, più o meno creativi.

A richiamare alla memoria l’opera di Schwarz è stato proprio Schwartz.

Nella sua autobiografia –Egea, 2015 -, Laurent racconta di essere intervenuto a nome del Comité des Mathematicien, in difesa di tre giovani matematici cileni arrestati nel periodo della dittatura di Pinochet con un primo messaggio inviato via telegrafo agli organi governativi che terminava con la firma: “Laurent Schwartz, matematico, membro dell’Academie des Sciences”. Ecco il racconto di Laurent:

«Mentre lo stavo dettando per telefono, la signora che mi ascoltava esclamò:

“Oh! Laurent Schwartz, matematico, ma è fantastico!”.

Non comprendevo affatto il motivo del suo stupore. “Indovinate il mio cognome!” continuò lei con lo stesso entusiasmo. “Potrebbe essere Schwartz, ma come faccio a saperlo?” – “No, ma è un nome molto vicino al vostro”. Mi arresi e lei mi disse che il suo cognome era… Cauchy. Trovai la cosa molto interessante. Quella signora non aveva nessun rapporto con la famiglia del matematico Cauchy ma sapeva che era stato uno dei più grandi matematici francesi del XIX secolo», conosceva la disuguaglianza di Cauchy – Schwarz, senza “t” e continuò:

«Dovete sapere che quando qualcuno mi firma un telegramma a nome Schwartz e io gli dico che mi chiamo Cauchy, questi non capisce dove voglio arrivare, ma a uno Schwartz matematico posso raccontare la mia storia!».

L’aneddoto è simpatico e Schwartz ne rimase così divertito da inviarlo ad alcune riviste che lo pubblicarono e da ricordarlo successivamente anche nelle varie iniziative che ci furono per festeggiare la liberazione dei matematici cileni o per celebrare l’attività del Comité des Mathematicien.

Una volta pubblicizzata quella storiella ebbe anche l’effetto di richiamare alla memoria collettiva l’opera di Schwarz, questo matematico importante che non aveva disdegnato di occuparsi di problemi elementari come il triangolo delle altezze detto anche triangolo ortico o di Schwarz.

In termini più precisi il problema affrontato da Schwarz è un problema di minimo:

Dato un triangolo acutangolo determinare, tra tutti i triangoli in esso inscritti, quello di perimetro minimo.

Schwarz provò che un tale triangolo esiste, è unico, ed è il triangolo che ha per vertici i piedi delle altezze, è cioè il triangolo ortico.

La rete Internet offre del problema una messe enorme di riferimenti e una dettagliata e esauriente scheda di sintesi  delle caratteristiche e proprietà del triangolo ortico si trovano su wolfram

Un riferimento privilegiato però per il problema di Schwarz rimane il libro di R. Courant e H. Robbins, il mai lodato abbastanza Che cos’è la matematica?

Al problema gli autori riservano pagine molto belle inserite nel capitolo Massimi e Minimi, in uno dei capitoli cioè che più ha influenzato la didattica della matematica nella seconda metà del secolo scorso.

Courant e H. Robbins del teorema delle altezze riportano due dimostrazioni che si basano sul procedimento della riflessione e sul principio del minimo cammino di Erone. Una più immediata dimostrazione, variante delle altre, è la seguente:

Se P’ e P” sono i simmetrici di P rispetto a AB e AC, allora il perimetro del triangolo PQR in figura è pari alla lunghezza del segmento P’ P’’.

Quale posizione di P realizza il minimo di P’ P’’?

Variando P sul lato BC cambia qualcosa nel triangolo isoscele P’AP’’: variano la lunghezza del lato AP’=AP=AP” e la lunghezza della base, ma rimane costante l’angolo al vertice A che si mantiene uguale al doppio dell’angolo BAC

In tali condizioni, la base P’ P’’ è minima quando è minimo il lato del triangolo cioè quando P è il piede dell’altezza relativa a BC e tanto può ripetersi per Q ed R. Con l’ausilio di un software di geometria dinamica la dimostrazione acquista una immediata comprensibilità visiva.

Altri Riferimenti:

Benedetto Scimemi, Riscoprendo la geometria del triangolo in Quaderno 19/2 MPI – Liceo Vallisneri- Lucca

Emilio Ambrisi Geometria euclidea dopo Euclide in Periodico di Matematiche 2/2004

Emilio Ambrisi Dall’autobiografia di Laurent Schwartz: una scoperta matematica è sempre sovversiva!

Antonino Giambò Il triangolo ortico