Matematica maturità 2026. La soluzione del secondo problema della prova scritta della sessione straordinaria: una famiglia di funzioni tra logaritmi, tangenti e aree.
Il secondo problema della prova di matematica della sessione straordinaria 2026 prende avvio da una famiglia di funzioni dipendente da un parametro reale. Le prime richieste riguardano il comportamento dell’intera famiglia; le ultime si concentrano sulla funzione ottenuta ponendo \(a=1\). Pubblichiamo la soluzione, corredata di grafici, nel PDF in fondo all’articolo.La traccia
Si consideri la famiglia di funzioni
\[
f_a(x)=ax-\ln(a+x), \qquad a\in\mathbb R,
\]e si indichi con \(\gamma_a\) il grafico di \(f_a\).
a) Al variare del parametro \(a\), calcolare i limiti agli estremi del dominio e studiare la monotonia e la concavità di \(f_a\).
b) Stabilire per quali valori del parametro il grafico \(\gamma_a\) possiede un punto stazionario e determinare il valore di \(a\) affinché tale punto abbia ordinata massima.
c) Verificare che, se \(a=1\), \(\gamma_a\) è tangente all’asse delle ascisse. Studiare la funzione \(f_1\) e tracciare il suo grafico \(\gamma_1\).
d) Determinare l’area della regione piana limitata compresa tra l’asse delle ascisse, \(\gamma_1\) e la retta di equazione \(x=2\).
Per ogni valore del parametro, il dominio è \(x>-a\) e la retta \(x=-a\) è un asintoto verticale. La derivata seconda è sempre positiva: tutte le curve hanno concavità rivolta verso l’alto. La distinzione decisiva nello studio della monotonia è tra \(a\leq 0\), per cui la funzione è decrescente, e \(a>0\), per cui compare un punto di minimo.
Il punto b) chiede un secondo passaggio: dopo aver trovato l’ordinata del minimo, bisogna considerarla come una *nuova funzione del parametro* e determinarne il massimo. Questo si ottiene per \(a=1/\sqrt2\).
Per \(a=1\), la curva \(y=x-\ln(1+x)\) ha il minimo nell’origine e lì è tangente all’asse delle ascisse. La stessa figura permette di riconoscere la regione del punto d): la sua area si calcola integrando tra \(0\) e \(2\) e risulta
\[
\mathcal A=\int_0^2\bigl[x-\ln(1+x)\bigr]\,dx
=4-3\ln 3.
\]
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