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Storia di ellissi e triangoli nel Periodico del 1921

Matematiche disfide di un secolo fa. Storia di problemi di ellissi e di triangoli proposti attraverso le pagine del Periodico di Matematiche del 1921.

Recentemente in alcuni gruppi social di docenti di matematica è stato discusso, proposto dall’amico (virtuale) Silvio Landrone, il problema di determinare, fra tutte le ellissi circoscritte ad un dato triangolo, quella di area minima. Un problema che molti hanno riconosciuto non facile da risolvere con i metodi della geometria sintetica e neppure facendo ricorso agli strumenti della geometria analitica.

È stato fatto notare comunque, che il problema si trova posto da Oscar Chisini nel Periodico di Matematiche del 1921. Esattamente un secolo fa. Nel primo fascicolo di quell’anno, che, com’è noto, è l’anno in cui la rivista tornò in vita con la direzione di Federigo Enriques e Giulio Lazzeri. Ed è uno dei problemi con i quali si inaugurava la rubrica “Varietà e questioni proposte” che costituì un campo di matematiche disfide tra i docenti di matematica di quel periodo tra le due guerre mondiali. La rubrica era curata appunto dal Chisini, allora ancora all’Università di Bologna.

Le risposte al problema non dovettero essere molte. Una sintesi di esse fu pubblicata, come divenne poi consuetudine, nel fascicolo successivo, il n.2/1921. Quale la soluzione?

L’ellisse richiesta è quella che ha per centro il baricentro del triangolo.

Nella sintesi, si precisava anche che il problema non era affatto nuovo. Corrado Ciamberlini (1861 – 1944), docente al liceo di Fermo, (cenni biografici si trovano nel lavoro di F. G. Tricomi) ne forniva anche le interessanti notizie storiche. La questione «era stata risolta da Berard negli Annales de Gergonne, analiticamente e da Liouville, negli Annales de Liouville, geometricamente. Quest’ultimo fa vedere che se l’ellisse non fosse tangente in un vertice, A, del triangolo alla parallela del lato opposto, BC, con una omologia affine di asse BC, si trasformerebbe l’ellisse in un’altra, ancora circoscritta al triangolo, e di area minore. Sicché segue il teorema postulando l’esistenza del minimo».

Si fa riferimento anche ad una soluzione analitica del problema, pervenuta alla redazione del Periodico. Soluzione però «che non è possibile qui riprodurre riuscendo piuttosto lunga».

Nello stesso numero 2/1921 è proposta una questione analoga:

Data un’ellisse, e su di essa un punto A, condurre due corde AB e AC in modo che l’area del triangolo ABC sia la massima possibile.

Ecco quanto scrive nelle risposte (n. 3/1921) Oscar Chisini:

«Consideriamo l’omologia affine che trasforma l’ellisse data nel cerchio avente per diametro l’asse maggiore. Essa muta ogni triangolo inscritto nell’ellisse ed avente un vertice nel punto dato A, in un triangolo inscritto nel cerchio ed avente un vertice nel punto A’ omologo di A.

Essendo in tale corrispondenza costante il rapporto delle aree di due figure omologhe, si ha il massimo dell’area del triangolo ABC quando è massima l’area del triangolo A’B’C’, corrispondente di ABC. Segue che il triangolo A’B’C’ è equilatero, e che il triangolo inscritto nell’ellisse è massimo quando BC è parallelo alla tangente in A e passa per il punto D, del diametro d condotto da A, distante da A i 3/4 della lunghezza di d».

Nota

La costruzione della figura è di Mario Guida (Caserta), appassionato esperto di Geogebra.

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