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Struttura di gruppo e modelli matematici

Un esempio di struttura di gruppo ed uno di modello matematico tratti dalle tendenze nell’insegnamento della matematica di cinquant’anni fa.

Nell’articolo “Le tendenze nell’insegnamento della matematica” è stato ricordato il lavoro compiuto esattamente mezzo secolo fa da esperti internazionali, su invito dell’Unesco.

L’articolo in sostanza invita ad una rilettura di quel lavoro evidenziandone i non pochi pregi. Tra questi il fatto che esso si presenta come una miniera non solo d’informazioni utili per riflettere su ciò che s’insegna e come s’insegna, ma anche di esempi che vale la pena di conoscere. Tra questi se ne riportano due ritenuti particolarmente significativi.

Il primo è un esempio di modello matematico.

«[…] I problemi cosiddetti “tradizionali” erano anche in un certo senso, delle applicazioni della matematica insegnata. Essi erano anche utilizzati in fisica, in chimica e in biologia, in cui le teorie erano espresse sotto forma matematica. Una nuova utilizzazione più moderna sarebbe quella di creare un sistema matematico che possa servire da modello esplicativo per una teoria scientifica. Per illustrare questa idea, consideriamo semplicemente il diagramma dell’area situata sotto una linea data, in un sistema di assi cartesiani ortogonali.Indichiamo l’area sotto la retta l con k: cioè l’area di OACB è k. Indichiamo il punto medio di OA con xm ,  e il coefficiente angolare della retta l con m. È facile verificare subito, utilizzando l’algebra e la geometria elementare, che le equazioni da 1 a 4 rimangono vere per qualunque posizione di A. L’equazione 5 è ottenuta a partire 3 e 4, eliminando la x. Ora in ciascuna delle equazioni da 1 a 5 operiamo i seguenti cambiamenti di variabili: x↔t;     y↔v;     k↔s;     m↔a

Le equazioni trasformate si scrivono:
Queste equazioni rappresentano la teoria fisica del moto uniformemente accelerato. Quando c’è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di una teoria scientifica ed un sistema matematico, ad esempio come qui sopra, ci riferiamo al sistema matematico come ad un modello matematico. Possiamo dire che esiste un isomorfismo tra il modello matematico e la teoria scientifica. si può citare, come altro esempio, lo spazio di probabilità con una misura, che costituisce un modello per il lancio di un dado. Si dovrebbe prestare più attenzione a questo aspetto della matematica, non solo per la sua importanza nella scoperta scientifica ma anche per il suo ruolo nella comprensione generale delle teorie scientifiche avanzate».

Il secondo è un esempio di costruzione di un gruppo non commutativo.

«f1, f2, f3, f4, f5, f6  sono applicazioni dei razionali di (0; 1) nell’insieme Q dei razionali, definite da:

Utilizzando la composizione delle applicazioni si può costruire la tabella:

Occorre notare che per determinare che: f6 ° f5 = f3  gli alunni devono essere capaci di calcolare: Studiando la tabella, gli alunni scopriranno che l’insieme {f1, f2, f3, f4, f5, f6}, per la composizione, è un gruppo non commutativo».Tendenze attuali dell'insegnamento della matematica, Unesco

Per concludere, l’idea pedagogica di fondo, e dunque la tendenza, era:

Insegnare l’algebra come studio potente delle strutture e di quelle loro applicazioni che hanno un’utilizzazione immediata in altri campi matematici, e non come un insieme di tecniche particolari, utili soltanto per apprendere di più l’algebra.

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