Temi di maturità e di concorso (di una volta)

Stabilità strutturale e morfogenesi nei temi di maturità e dei passati concorsi a cattedre. L’instabilità dei polinomi e le variazioni di forma. 

Le parabole sono curve stabili. Anche se sottoposte a perturbazioni non cambiano la loro forma.

Se perturbiamo P(x)=x² con un termine moltiplicativo a≠0, cioè passiamo da P(x)=x² a P(x)=ax², il coefficiente a ha l’effetto di allargare o restringere la parabola e, se negativo, di ribaltarla rispetto all’asse delle x. Ulteriori perturbazioni inferte alla parabola possono consistere nell’aggiungere un termine c costante o bx o entrambi. Nel primo caso, al variare di c la parabola P(x)=ax²+c scorre semplicemente verso l’alto o il basso. Nel secondo si muove nel piano ma non cambia la sua forma. L’invarianza di forma permane comunque. L’esame dei  vari casi costituisce un’attività didattica molto significativa che consolida il rapporto tra l’algebra e la geometria. Il porre in risalto, in modo dinamico, i reciproci cambiamenti serve a rafforzare la percezione della corrispondenza tra forma geometrica e sua espressione analitica e di quanto una variazione nell’una incide sull’altra.

Ugualmente importante didatticamente è l’attività tesa a consolidare l’idea di stabilità di forma.

Ciò si può fare con efficacia guidando la classe alla scoperta che i polinomi quadratici sono gli unici ad essere stabili.

Si può partire con l’esempio di P(x)=x³ per poi considerare il polinomio P(x)=x³+εx e verificare come agisce il termine aggiuntivo εx con ε positivo o negativo. Nel primo caso la curva cambia: l’origine continua ad essere un punto di flesso ma non più a tangente orizzontale, la curva è molto più stilizzata, diventa sempre più ripida al crescere di ε. Nel secondo caso il cambiamento di forma è ancor più evidente: la curva cessa di avere un punto di flesso, al suo posto compaiono un massimo ed un minimo per . Non c’è più invarianza di forma.

In effetti ad essere instabili sono tutti i polinomi di grado n≥3.

Il motivo sta nel fatto che ogni polinomio è perfettamente esprimibile con il suo sviluppo di Taylor in un punto. Il polinomio P(x) di grado n si può cioè scrivere:

P(x)= P(x₀) + P’(x₀) (x-x₀) + P’’(x₀)(x-x₀)²/2 + …….+ Pⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!

I coefficienti sono i valori, tutti concentrati in x₀, di P(x) e delle sue derivate successive fino alla n-esima. In altri termini un polinomio di grado n è determinato quando se ne conosce il valore in n+1 punti. Nella forma di Taylor le n+1 informazioni sono tutte localizzate nel punto x₀. Questo didatticamente potenzia anche il concetto di derivata facendone risaltare la natura locale così come quella di limite al quale essa si riconduce. Tutto ciò comporta pertanto la percezione dell’esistenza di una stretta solidarietà tra locale e globale, ovvero che conoscere un polinomio in un punto significa conoscerlo dappertutto. Per i polinomi, dunque, la conoscenza locale implica quella globale. Il che equivale anche a dire che perturbare un polinomio in un punto equivale a perturbarlo dappertutto.

Un esempio e un volo di pensiero.

Se un fenomeno naturale – si può anche immaginare la vita di un individuo – potesse essere espresso matematicamente da un polinomio di grado comunque elevato e con un numero comunque elevato di variabili la situazione che ne risulterebbe non sarebbe proprio piacevole, giacché la variazione in un punto porterebbe a cambiamenti globali. Forse è uno dei motivi per i quali, saggiamente, la Natura ha scelto di seguire leggi che non sono mai esprimibili in forme polinomiali, niente affatto stabili. A cominciare dalla legge di gravitazione universale di Newton.

Catastrofe a piega

I ragionamenti fin qui sviluppati meritano alcune precisazioni.

Prima di tutto lo sviluppo di Taylor di una funzione in serie di potenze. «L’integrazione s’incontra già in Archimede, la derivazione in Pascal e in Fermat, e il legame tra le due operazioni Barrow lo conosceva. Quale fu dunque il contributo di Newton all’Analisi e quale la sua maggiore scoperta in questo campo? La risposta è semplice: Newton inventò le serie di Taylor, lo strumento principe dell’analisi».

Questo lo scrive Vladimir Igorevič Arnol’d (1937-2010) e non è il solo. Sul fatto che Taylor sia lo strumento principe dell’Analisi insiste anche René Thom (1923 – 2002). Lo ritiene uno dei 4 o 5 teoremi fondamentali che hanno a che fare con la dialettica locale/globale. Taylor scambia un’informazione globale con una locale mentre l’opposto fa il teorema di Ulisse Dini.

A Thom comunque e alla sua teoria delle catastrofi sono riconducibili i ragionamenti fatti.

Nel caso ad esempio della parabola cubica y=x³ il suo dispiegamento universale, ovvero la famiglia di curve y = x³+εx porta alla prima catastrofe di Thom, la piega che è modello matematico di tanti fenomeni catastrofici. René Thom rimane ovviamente il principale riferimento bibliografico cui attingere.

Il libro di Analisi Matematica che vale però la pena di citare è di Giuseppe Geymonat.

È un libro innovativo per l’insegnamento. Geymonat, quarant’anni fa, nel 1981, rivoluziona quello che è uno dei principali aspetti della didattica. Sovverte l’ordine, il passo dopo passo dei capitoli e degli argomenti, la loro connessione logica. Passa ad una diversa organizzazione dell’Analisi. Parte dall’osservazione che lo sviluppo dei corsi di Analisi ricapitola, a meno di qualcosa, la sistemazione che Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) aveva dato al suo Cours D’analyse de L’ecole Royale Polytechnique nel 1821. Sistemazione che dopo due secoli ancora regge nelle sue linee generali.

Il testo di G. Geymonat, rivolto agli studenti d’ingegneria, nasceva da un progetto di ricerca didattica e teneva conto oltre che dell’ordine anche dell’applicabilità e del linguaggio (si veda l’Introduzione qui riprodotta). Cioè quei temi che meriterebbero grande attenzione da parte delle Università nelle iniziative tese alla formazione degli insegnanti di matematica. Temi necessari per superare quei limiti di inferenza logica e di povertà di lessico che inibiscono ai docenti di matematica di rendere, il più delle volte, efficace il loro insegnamento e di cui più volte si è parlato su queste pagine web [VEDI]. Ancora da citare è il Syllabus dell’UMI che Geymonat aveva caldeggiato e premette al testo.

Infine non si può chiudere questa breve nota senza ricordare che quanto sviluppato sopra ha trovato posto nei temi di maturità scientifica e di concorsi a cattedre.

A tal fine si riportano i seguenti esempi:

1. Con riferimento alla cubica y = x³ [il candidato] ne illustri le variazioni del grafico per l’aggiunta di un termine kx al variare di k nell’insieme dei numeri reali. (maturita’ magistrale sperimentale PNI 1998)
2. L’informazione che si ha della parabola è tutta concentrata nel punto di ascissa x=5 ed è : f(5)=0, f'(5)=-1, f”(5)=-1/2. Determinata la parabola e detti A e B i suoi punti di intersezione con l’asse x calcolare l’area del triangolo ABC ove con C si è denotato il punto di incontro delle tangenti alla parabola in A e in B e stabilire il rapporto tra tale area e quella del segmento parabolico di base AB. Stabilire altresì il rapporto tra i volumi descritti dalle aree prima considerate per effetto della loro rotazione completa attorno all’asse x. (scientifico, suppletiva 1999)
3. Della parabola si hanno le seguenti informazioni, tutte localizzate nel punto x=0 : f(0)=1, f'(0)=1, f”(0)=2. Determinata la parabola, si scrivano le equazioni delle tangenti ad essa condotte per il punto P dell’asse y di modo che valga 60° l’angolo APB, essendo A e B i rispettivi punti di tangenza ; accertato che il punto P ha ordinata 1/4, si scriva l’equazione della circonferenza passante per A, B e P; si calcolino le aree delle due parti in cui la circonferenza risulta divisa dall’arco di parabola di estremi A e B. (scientifico, straordinaria, 1999)
4. La formula di Taylor: il candidato ne ponga in risalto l’utilità nelle applicazioni ed in particolare nel calcolo approssimato. Ne sottolinei l’importanza didattica attraverso la molteplicità dei risultati matematici che in essa si possono leggere. Si soffermi infine sulla solidarietà locale-globale da essa stabilita per i polinomi. (concorso a cattedre per l’ambito 8 del gennaio 2000)