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Triangoli con area e perimetro uguali

L’insegnamento dinamico della geometria come precetto didattico. Esempi di triangoli di uguale area e uguale perimetro ma non congruenti.

“Lo studio della geometria trarrà vantaggio da una presentazione non statica delle figure, che ne rende evidenti le proprietà nell’atto del loro modificarsi”.

Didatticamente una verità e una raccomandazione. Come verità, è parte integrante della secolare esperienza d’insegnamento della geometria e come raccomandazione è ricordata nei programmi di matematica  della scuola media, sia del 1963 che del 1979. Anche le Indicazioni Nazionali del 2012 la rinnovano, anche se non con la stessa enfasi e precisione. In ogni caso si tratta di una raccomandazione che trova ampi campi di sperimentazione e tra queste, molto efficaci, le attività incentrate su: Semplici problemi di isoperimetria ed equiestensione.

L’efficacia sta nello stesso aiuto prestato alla formazione dei concetti. È indubitabile infatti che i ragazzi giungano ad una migliore acquisizione dei concetti di area e di perimetro mettendoli a confronto, cioè facendo loro vedere che figure di perimetro uguale (isoperimetriche) possono avere aree diverse, e, viceversa, figure di area uguale, perimetri diversi.  Un tema che è uno dei cavalli di battaglia dell’insegnamento dinamico di Emma Castelnuovo che l’ha ben evidenziato in tante esperienze realizzate a scuola e descritte nei suoi libri.

In quest’opera di variazioni e di confronti, può presentarsi il dubbio: se due o più figure piane hanno uguali perimetri e uguali aree, sono necessariamente congruenti?

Limitando il discorso ai triangoli isosceli: 

Se due triangoli isosceli hanno lo stesso perimetro e la stessa area, sono congruenti?*

La risposta è negativa. La prova inconfutabile è l’esistenza della coppia seguente:

A’ (x) è maggiore di zero quando p2– 3px è maggiore di zero, cioè quando x < p/3, ed è A (x)=0 quando x=p/3. In x=p/3 la funzione x → A(x) presenta un massimo. Poiché per x = p/3 il triangolo è equilatero, ne discende che l’area è massima quando il triangolo è equilatero.

In questo caso l’area è: \frac{\sqrt{3}}{36}p^{2}.

Il grafico di A(x) per p=98 è quello indicato a lato e illumina sulla questione: ogni retta y = k , con k è compreso tra 0 e 462,07 , lo taglia in due punti distinti di ascisse x1 e x2,.

Ciò prova che, in generale, esistono esattamente due triangoli isosceli, non congruenti, di perimetro p ed area k, uno di base x1, l’altro di base x2.

Lo stesso risultato si sarebbe ottenuto affrontando il problema con una diversa scelta della variabile: ad esempio, invece di porre la base b = x, ponendo il lato l = x o anche considerando come variabile del problema l’angolo alla base e risolvendo per via trigonometrica.

Osservazione a margine.

La coppia di triangoli isosceli di perimetro 98 e area 420 indicata sopra ha i lati che hanno misure intere e con molta probabilità non è la sola coppia con tale particolarità.  Una particolarità, quella di avere lati espressi da numeri interi,  che ha sempre attratto i matematici e perciò dato il via a problemi anche interessanti.

Ad esempio Charles Dodgson, il “doppio” di Lewis Carroll, nei suoi Diaries racconta di aver passato una notte insonne pensando alle soluzioni di un problema che gli era stato posto da amici: trovare tre triangoli rettangoli di uguale area e con lati espressi da numeri interi. Dodgson riuscì a trovarne solo due: (12, 35, 37) e (20, 21, 29) che sono le metà dei triangoli isosceli prima considerati. Una terna siffatta, quella più piccola, si trova nell’opera del 1907, The Canterbury Puzzles , di Henry Ernest Dudeney. Sono i triangoli (24, 70, 74), (40, 42, 58), (15, 112, 113), i primi due sono ottenuti raddoppiando le dimensioni di quelli trovati da Dodgson. Hanno tutti la stessa area.

 

NOTA

*Emilio Ambrisi, Triangoli con uguale perimetro e uguale area, in Periodico di Matematiche 1-2/1985

 

 

 

 

 

 

 

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente e preside e, per un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.

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