Problema per il biennio

Un problema per il primo biennio e… oltre. Quanti sono i triangoli, con lati a misure intere, che hanno uguale perimetro e uguale area e non sono congruenti?

Due figure piane possono avere lo stesso perimetro e la stessa area e non essere congruenti.

La questione è già stata esaminata in Triangoli con area e perimetro uguali e ora si vuole affrontare con un diverso approccio, più adatto a studenti del primo biennio. Cioè partendo dal seguente problema:

È dato un triangolo i cui lati hanno lunghezze 29, 29 e 40. Si può determinare un altro triangolo isoscele di uguale perimetro 98 e uguale area 420 i cui lati siano ugualmente espressi da numeri interi?

Da x² – (49 – x)² = h²     e      h· (49 – x) = 420 segue:

2x³ – 245x² + 9604x – 121249 = 0

L’equazione è di terzo grado e può mettere in imbarazzo gli studenti anche per i coefficienti “fuori consuetudine”. Una sua soluzione è però già nota, è x = 29. La divisione del polinomio a primo membro per x – 29 porta dunque a scriverlo nella forma fattorizzata:

(x – 29)(2x² – 187x +4181) = 0

Occorre dunque risolvere l’equazione 2x² – 187x +4181 = 0; quindi:

Le soluzioni sono 113/2 e 37. La prima però non è affatto una soluzione del problema essendo maggiore di 49, il semiperimetro. Di esse dunque solo la seconda si può accettare. Il triangolo isoscele trovato è 37, 37, 24 e ha perimetro 98 e area 420. Non ne esistono altri. Infatti nell’articolo citato è stato provato che, assegnati p e k,  esistono esattamente due triangoli isosceli, non congruenti, di perimetro p ed area k.

Un ulteriore elemento di indagine può essere offerto però mantenendo la condizione che i lati siano a misure intere e facendo cadere l’altra, e cioè che i triangoli siano isosceli. Cioè, tornando al problema iniziale, formularlo in questo modo:

È dato un triangolo i cui lati hanno lunghezze 29, 29 e 40. Si può determinare un altro triangolo di uguale perimetro 98 e uguale area 420 i cui lati siano ugualmente espressi da numeri interi?

In questo caso per la soluzione del problema converrà fare ricorso alla formula di Erone; per cui, indicati con a, b e c le misure dei lati e con s il semiperimetro, si ha:

a + b + c = 98 ;  s = 49   e    s(s – a)(s – b)(s – c) = 420²

Dove a, b, c ∈ N e 49 > a ≥ b ≥ c > 0 e si può supporre, senza perdere in generalità, che b+c > a.

Da queste premesse può risultare un utile esercizio di classe sviluppare il ragionamento per concludere che:

tutti e soli i triangoli non congruenti di perimetro 98 e area 420 che hanno  i lati a misure intere sono i tre seguenti: