Un elaborato sui massimi e minimi

Da una traccia per ciascuno a una traccia per tutti: le questioni della ricerca dei massimi e dei minimi, dell’ottimo e del pessimo. Applicazioni della matematica alla fisica, alle scienze, alla vita.

I problemi della ricerca di massimi e minimi sono molto comuni. S’incontrano nella vita di tutti i giorni, legati a tutto ciò che non è costante, ma varia. L’esempio più immediato è quello della retta, modello di qualcosa che è piatto, come si dice di un cuore che non batte più, non pulsa, non vive.

Della determinazione dei massimi e minimi la matematica ha fatto, da sempre, uno dei suoi campi d’interesse primario per l’applicazione dei suoi concetti e delle sue procedure in ogni scienza.

Lo studente affronti l’argomento: Della ricerca dei massimi e dei minimi.

Sviluppi il suo elaborato approfondendo quelle questioni e quegli aspetti, attinenti in particolare alla matematica e alla fisica, che più lo hanno interessato, che ha studiato e interiorizzato e con i quali intende avviare il suo colloquio dell’Esame di Stato per meglio esprimere il risultato dei suoi studi, la preparazione raggiunta a conclusione del percorso liceale, le sue capacità.

Nell’elenco che segue sono riportati, temi e problemi riguardanti l’argomento.

L’elenco è orientativo: lo studente può scegliere al suo interno quello o quelli su cui concentrare la sua attenzione e il suo lavoro o anche aggiungerne altri.

     Temi e problemi

1. Un segmento è il cammino più breve per collegare due punti.
2. Un arco di cerchio massimo è la più breve curva che congiunge due punti di una sfera.
3. Tra tutte le curve chiuse piane aventi la stessa lunghezza il cerchio racchiude l’area maggiore, e fra tutte le superfici chiuse aventi la stessa area, la sfera racchiude il più grande volume.
4. La luce è pigra: compie il minimo cammino.
5. La costanza della velocità finita della luce
6. Quale forma dovrebbe avere un’imbarcazione per offrire all’acqua la minima resistenza possibile?
7. Qual è il recipiente cilindrico formato con una data quantità di materiale che ha il massimo volume?
8. Qual è la distanza minima e quale quella massima da una curva data?
9. Esempi di problemi di massimo e di minimo nella fisica: in particolare, elettromagnetismo, termodinamica, relatività.
10. L’entropia di un sistema. Significato dell’espressione “massimo di entropia”.
11. Nella teoria di Maxwell la luce assume la forma di onde, non di particelle. Qual è la velocità di propagazione delle onde luminose?
12. Il metodo del calcolo infinitesimale per la determinazione di massimi e minimi.
13. Il triangolo che ha i vertici nei piedi delle altezze di un triangolo assegnato.
14. Il problema di Erone consiste nel determinare, assegnati nel piano due punti A e B situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema seguendo più vie.
15. Il problema di Torricelli-Viviani. [Vedi maturità]. Formulazione di Viviani: Dato triangulo, cuius unusquisq; angulorum minor fit graduum 120. Punctum reperire, à quo si ad angulos tres rectae educantur ipsarum aggregatum fit minimum*.
16. Il problema della rete minima.
17. Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha il vertice che dista r√2 dalla superficie sferica.
18. Legge di Snellus- Descartes
19. Il ruolo della derivata seconda nella determinazione dei massimi e minimi di una funzione
20. Che inclinazione bisogna dare al cannone se si vuole che la gittata sia massima?

NOTE

1. Il mese di maggio è il mese dello studio. Soprattutto il mese per apprendere le cose nuove già programmate e mettere a punto e a frutto ciò che si sa.
2. Non si valuta l’elaborato, ma ciò che dal lavoro fatto si saprà dimostrare, in sede di colloquio d’esame, di avere appreso e compreso.

PER I DOCENTI

*La formulazione in latino del teorema di Viviani non andrà proposta nell’opzione delle scienze applicate.