La soluzione di un noto problema di matematica ricreativa: Il censimento in Cina
Claude-Gaspard Bachet (1581-1638)
La matematica ricreativa è un capitolo importante, spesso affascinante, della storia e della didattica della matematica.
Per valorizzare questo filone, Matmedia introduce una nuova categoria dedicata proprio alla matematica ricreativa. In questo modo diventa più semplice raccogliere e consultare i tanti esercizi, piacevoli e dilettevoli, che nel tempo sono apparsi sul sito.
La storia della matematica ricreativa ha radici antiche, egizie e greche, e si sviluppa con caratteri così umani e sociali nell’arco dei secoli da presentarsi come un capitolo davvero speciale. Molti i personaggi famosi che vi hanno lasciato un segno – ad esempio Diofanto e il suo dotto e nobile traduttore del XVII secolo Claude-Gaspar Bachet – ma anche tante le iniziative editoriali e didattiche. Al riguardo appare doveroso ricordare anche il Periodico di Matematiche che per diversi anni pubblicò esercizi e problemi etichettati come “matematica ricreativa” nonché l’iniziativa delle “gare matematiche”.
Il problema: il censimento in Cina
Uno di questi esercizi è particolarmente accattivante. Apparve nel numero 3-4 del 1963:
Problema del censimento in Cina
Un classico della matematica ricreativa
Un censore, durante un’indagine sulla popolazione, chiede a un anziano:
— Quante persone vivono in quella casa?
— Tre persone.
— Che età hanno?
— Il prodotto delle età è 1296.
— Mi dia un altro dato.
— La somma delle età è uguale al numero civico della casa.
Il censore guarda il numero civico, riflette, e dice:
— Non mi basta. Mi dica ancora qualcosa.
— Il più vecchio è più giovane di me.
Domanda: Quali sono le età delle tre persone?
Riflessione didattica
Questo problema è un piccolo gioiello logico. Didatticamente, è perfetto per:
- attività collaborative in classe,
- stimolare il pensiero flessibile ed euristico,
- argomentare con un tocco narrativo.
Analisi e soluzione del problema
1. Scomposizione del prodotto
Il numero 1296 è il quadrato di 36. In fattori primi: 1296 = 2⁴ × 3⁴.
Tra le terne (a, b, c) con a × b × c = 1296 ve ne sono molte, ma alcune sono incompatibili con l’età umana, come (1, 1, 1296).
2. La somma delle età
Tra le terne, ce ne sono due con somma uguale a 91:
- (1, 18, 72)
- (2, 8, 81)
Il numero civico, dunque, è 91. Ma non basta. Solo l’ultimo indizio chiarisce il mistero: “il più vecchio è più giovane di me”. E il censore è soddisfatto dalla soluzione:
-
(1 , 18, 72)
Un po’ di storia: gare matematiche degli anni ’50
Il problema del censimento circolava già negli ambienti universitari italiani alla fine degli anni Cinquanta, anche grazie alla crescente diffusione delle gare matematiche.
In una “gara” del 1964 organizzata dal Seminario Matematico dell’Università di Catania, insieme al “Censimento in Cina”, furono proposti i seguenti altri quesiti:
-
Una bottiglia ha fondo piatto e circolare, tappata, e parzialmente piena di vino, che non supera la parte cilindrica. È possibile determinarne la capacità con un semplice doppio decimetro, senza aprirla?
-
Si ha un mucchio di arance dal peso complessivo di circa mezza tonnellata. In media, cinque arance pesano un chilo. Si vogliono ripartire le arance del mucchio in pacchetti contenenti tutti lo stesso numero di arance. Ma: se si fanno pacchetti di 8 arance, ne restano 7 per ultimo. Se si fanno pacchetti da 7, ne restano 6, pacchetti da 6 ne restano 5, pacchetti da 5 ne restano 4, pacchetti da 4 ne restano 3, pacchetti da 2, 2 e pacchetti da 2, 1.
Domanda: quante arance ci sono nel mucchio? -
Un foglio di carta ha la forma di un quadrangolo. In quali casi si può ripiegarlo in due, con una sola piegatura, in modo che le due parti combacino esattamente?
-
Si sostiene talvolta che noi usiamo il sistema decimale di numerazione (per cui, per esempio, 362 significa 3·102+ 6·10 + 2 ) in quanto abbiamo dieci dita.
Un marziano, dopo aver visto scritta l’equazione x2-16x +41 = 0, invitato a scrivere la differenza delle radici, scrive 10. Quante dita hanno i marziani?
N.B. – Per i numeri compresi fra 0 e 6 la scrittura dei marziani coincide con la nostra. [Dal tema di ammissione alla Scuola Normale superiore di Pisa, 1962].
Conclusione
Problemi come questi sono più che semplici passatempi: sono stimoli per l’intelligenza, strumenti per la didattica e ponti tra logica, storia e creatività.
Matmedia accoglierà con piacere le soluzioni inviate da docenti, studenti e appassionati ai quesiti proposti. Buon divertimento matematico!
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