Un problema decisamente significativo nella storia e nella didattica della matematica: è detto di Torricelli-Viviani e ri-proporlo è un modo “autentico” per fare matematica attingendo alla sua storia e prepararsi alla maturità.
La traccia del tema di maturità per gli indirizzi Brocca del 1998 (sessione suppletiva) costituì, allora, una sorta di apprezzata novità.
Uno dei due problemi proposti era il seguente:
«Vincenzo Viviani (1622- 1703) nell’opera De Maximis et Minimis, data alle stampe nel 1659, avvertì la necessità di inserire un problema a cui aveva dato soluzione e che era stato oggetto di studio anche da parte di altri più noti e valenti matematici del tempo. Il problema è il seguente:
“Dato un triangolo ABC, i cui angoli misurano ciascuno meno di 120°, trovare un punto X tale che la somma XA+XB+XC sia minima”.
La soluzione di Viviani, trovata, egli dice, non senza iterati sforzi, è questa: X è il punto, interno al triangolo, che “vede” o proietta i lati AB, BC, CA, sotto angoli di 120°. Il problema conserva inalterata la sua importanza in quanto se i vertici A, B e C rappresentano, ad esempio, tre villaggi o città che si vogliono collegare tra loro, ragioni di convenienza potrebbero consigliare di realizzare la rete stradale minima.
Il candidato localizzi il punto X nell’ipotesi semplificatrice che la retta passante per C e per il punto medio M del segmento AB sia perpendicolare a tale segmento :
- dimostri che il punto X che realizza il minimo appartiene al segmento CM;
- introdotto un sistema di coordinate tale che C sia l’origine e CM coincida con l’asse x positivo e indicate con (a,b) e (x,0) rispettivamente le coordinate di A e di X, dimostri che s(x)=XA+XB+XC è data dalla formula:
- dimostri che se a≤b/√3, s(x) assume il minimo in x=0 , mentre se a>b/√3 , s(x) assume il minimo in x=a-ba≤b/√3;
- interpreti geometricamente il risultato confrontandolo con l’enunciato e la soluzione, più generale, di Viviani.»
Non si hanno commenti significativi al problema da parte di docenti e candidati, anche perché il campione di studenti chiamato a svolgerlo consisteva di poche unità. Ma fu aspramente criticato, dai soliti esperti, “il perdersi” in informazioni storiche sul problema: avevano solo come conseguenza di deconcentrare lo studente e fargli perdere tempo.
La storia del problema è però molto interessante e ancora più interessanti ne sono sviluppi.
Del problema di Torricelli-Viviani si trovano riferimenti un po’ ovunque nella letteratura matematica. Si trova, ad esempio, formulato in modo abbastanza analogo a quello della maturità, nel libro Analisi Matematica di Lax-Burstein-Lax (1986). A metterne in luce la valenza didattica è però Hugo Steinhaus in Matematiche per Istantanee (1994). Un libro da cui tutti, docenti e studenti, hanno solo molto da imparare, secondo il parere espresso anche da Benedetto Scimemi). Ed ugualmente fa Bruno de Finetti, che presenta il problema in Il saper vedere in matematica (1967) anche con qualche variazione interessante.[VEDI]
Ma un testo che è stato la vera fonte alla quale molti si sono abbeverati è il notissimo Che cos’è la matematica? di Courant e Robbins. In particolare il capitolo Massimi e Minimi che è uno dei gioielli più preziosi del libro, un riferimento per tutti coloro che si sono occupati di didattica.
R. Courant e H. Robbins presentano il problema attribuendolo impropriamente a Jakob Steiner (1796-1863). Questi lo riscoprì per suo conto nel 1837 dandone anche una generalizzazione ritenuta però, in seguito, di scarso interesse: “una delle generalizzazioni superficiali che si incontrano spesso nella letteratura matematica”. Per trovare – scrivono Courant e Robbins – la generalizzazione del problema di Steiner che abbia un vero interesse, si deve abbandonare la ricerca di un solo punto P e proporsi invece la determinazione del reticolato di lunghezza totale. In termini matematici diremo:
“Dati n punti A1, A2, …. , An, trovare un sistema connesso di segmenti, di minima lunghezza totale, tale che ogni coppia di punti possa essere collegata con un poligono formato da segmenti del sistema”.
L’importanza anche pratica del problema appare chiara.
Infatti, i punti possono essere, come nel problema proposto per la maturità, rappresentativi di città da collegare con una rete stradale o abbonati di una società telefonica o ancora se si tratta della progettazione di una rete di tubature o di un circuito elettronico: vi sono tutti gli interessi per realizzare reti minime, che siano cioè le più corte possibili; interessi sia tecnici, sia di funzionamento, sia ancora economici.
Il fatto è che al crescere del numero n di punti (n si può assumere come la misura della dimensione del problema) il problema diventa intrattabile. I tempi di risoluzione crescono esponenzialmente con n: è cioè un problema NP (non deterministico in un tempo polinomiale). La questione è ampiamente affrontata nell’articolo: “Il problema della rete di lunghezza minima” di M.W. Bern-R.Graham in Le Scienze n.247, marzo 1989.
Per le origini del problema, torniamo a Vincenzo Viviani.
Nell’Appendice al suo De Maximis et Minimis segnala due problemi. Il primo è quello di cui ci stiamo occupando. Era stato inizialmente proposto da Fermat a Torricelli, suo maestro. Viviani lo risolve, da parte sua, non “senza iterati sforzi”. In un liceo, può essere utile leggere e tradurre, come attività interdisciplinare, il passo originario. Eccolo:
«Duo potissimum sunt problemata, quibus haec Appendicula conflatur. Primum (uti conflatex quadam variarum propositionum narratione, quae inter summum Geometram Torricellium, praestantioresque Galliae, ne dicam Europae, Mathematicos intercessere, quales, inter hos D. Fermat Senator Tholosanus, D. Robervallius in Parisiensi Academia Regius Mathematum Professor, ac D. de Verdus ) praefatus Cl. Vir de Fermat ipsi Torricellio olim proposuerat, qui licet statim in ipsius solutionem non incidisset, inde mox animaduertens Problema determinatum esse, illud demum triplici via, altera nimirum per locos planos, reliquis per solidos demonstravit, nobisque postmodum exercitationis gratia in hunc, qui sequitur modum enodandum tradidit.
Dato triangulo, cuius unusquisq; angulorum minor sit graduum 120. punctum reperire, à quo si ad angulos tres rectae educantur ipsarum aggregatum sit MINIMUM.
Quod, ut vera fatear, non nisi iteratis oppugnationibus tunc nobis vincere datum fuit […]».
Utile è anche cogliere l’occasione per una riflessione sulle finalità del De Maximis et Minimis.
Il sottotitolo è: Geometrica Divinatio in quintum conicorum Apollonii Pergaei. L’obiettivo dell’opera, cioè, era di indovinare il contenuto del libro quinto delle coniche di Apollonio. Si sapeva che erano otto i libri, ma se ne conoscevano solo i primi quattro. Quale potevano essere i contenuti dei libri non ritrovati? Quale la distribuzione e la successione degli argomenti e delle proposizioni? Non era affatto peregrina, nè nuova, l’idea di una divinatio. Anzi, era abbastanza naturale per i matematici di allora impegnarsi in un tale lavoro di ricostruzione logico deduttivo di opere del passato di cui si aveva solo notizia da parte dei commentatori. Vincenzo Viviani lo fa con relativo successo, cosa peraltro comprovata dal quasi contemporaneo ritrovamento del quinto libro in una traduzione araba.
Avere l’opportunità di una riflessione su un tale tema è in definitiva avere l’occasione di ragionare sul modo di concepire la matematica e di progettarne di conseguenza l’insegnamento. Una matematica concepita, cioè, in modo fortemente deduttivo, dotata di un ordine naturale e oggettivo. Ordine che un buon insegnamento non poteva fare altro che ripercorrere passo dopo passo. Concezione durata secoli e forse non del tutto definitivamente superata.
Se l’opportunità di una tale riflessione è utile da cogliere, non meno interesse didattico ha la dimostrazione del teorema per via sintetica.
Il ricorso alle trasformazioni rende la dimostrazione del teorema di Torricelli-Viviani ancora più allettante.
Eseguita poi con un software tipo Geogebra svela immediatamente e dinamicamente la sua verità. Preso P interno ad ABC, una rotazione di 60° di centro B, manda P in P’ e A in A’. BAA’ è equilatero e i triangoli BP’A’ e BPA sono congruenti. La spezzata A’P’PC ha lunghezza pari a PA+PB+PC. Essa è minima quando i punti della spezzata sono allineati, cioè quando P appartiene a A’C. P dunque è l’intersezione di A’C con AC’ (operando la rotazione di centro B nell’altro verso o cambiando il centro di rotazione).
Anche i tre cerchi circoscritti ai tre triangoli esterni si incontreranno in P che è il punto cercato, che vede cioè i lati del triangolo sotto un angolo di 120°. Conseguenza immediata è il teorema di Napoleone.
I centri dei triangoli equilateri costruiti esternamente ad ABC sono vertici di un triangolo equilatero.
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