Un ulteriore omaggio a de Finetti
(di Emilio Ambrisi)
C’è un’altra questione nella prova scritta di matematica agli esami di stato della sessione 2006 che è un ulteriore omaggio a de Finetti. E’ nel primo dei due problemi. Un problema abbastanza noto che si trova su molti libri di testo, ma che è stato ripreso in una formulazione alquanto originale, per certi versi accattivante.
La prima questione è quella standard:
tra tutti i rettangoli isoperimetrici, quale quello di area massima?
Una questione sempre proposta e ri-proposta e che già lo scorso anno la maggior parte dei candidati aveva testimoniato di conoscere.
E’ la seconda parte del problema ad essere più interessante e nuova.
E’ vero, c’è anche un aspetto fastidioso di calcolo, ma una volta che si è superato, si pone la questione di dare una risposta che non può esserci senza un minimo di riflessione. C’è una soluzione? Come si deve dividere il filo affinchè la somma delle aree sia massima? C’è un massimo?
La somma delle aree può sempre essere aumentata: taglio il filo in modo che la parte che costituisce la circonferenza sia sempre più grande e quella che costituisce il perimetro del quadrato sempre più piccola. Allora? Dove tagliarlo, quel filo? C’è un massimo? O il massimo è quando il filo non si taglia affatto, viene tutto utilizzato per recintare un’aiuola circolare?
Se si intende che il filo deve essere tagliato, allora non c’è soluzione, il problema è irrisolubile, ogni taglio non è mai quello buono.
Se invece vogliamo che una soluzione ci sia comunque allora il problema ha una soluzione limite in cui una delle due parti ha lunghezza zero. Il problema dà l’occasione di riflettere sul concetto di risolubilità e anche sul fatto che tra le figure isoperimetriche è il cerchio ad avere l’area massima.
La parte conclusiva è non meno interessante. Non richiede altro che conoscenze elementari di aritmetica, algebra e geometria. Ma è una questione importante sul versante pratico. Se di un corpo solido, qualsiasi sia la sua forma, ne aumentiamo le dimensioni del 10% di quanto aumenta il suo volume? Del 33%!
Una bella questione che è tra quelle che de Finetti presenta ad inizio del suo “Saper vedere in matematica”.
|
Possiamo partire dal problema posto allo schiavo da Socrate nel Menone: raddoppiando le dimensioni di una figura, la sua area quadruplica. E, generalizzando, se si tratta di solidi? Il suo volume si ottuplica. Più in generale moltiplicando le lunghezze per un numero qualunque k (ovviamente k>0), le aree risultano moltiplicate per il quadrato di k, i volumi per il cubo di k. Che ciò – scrive de Finetti – sia evidente per il quadrato e il cubo è evidente, ma sarà vero in generale? Sarà vero per il caso di due patate, o di due uova, o di due statue, uguali per forma ma di dimensioni proporzionalmente alterate?
|
|
Per dimostrare che la proprietà è vera in generale basta pensare che ogni solido, qualsiasi sia la forma, può sempre pensarsi tagliato in cubetti, piccoli quanto si vuole, così come ogni figura piana in quadratini.
Il volume sarà espresso dal numero dei cubetti (per eccesso o per difetto a seconda che contiamo o no i cubetti incompleti al contorno: ma l’errore si può rendere trascurabile prendendo i cubetti sufficientemente piccoli). Allora basta pensare che, raddoppiando le lunghezze, ogni cubetto ottuplica il suo volume ( o, in generale, lo moltiplica per k3 se le lunghezze vengono moltiplicate per k e la conclusione risulta estesa al caso di un solido qualunque.
Osserva de Finetti [3]:
Queste considerazioni sono di estrema importanza sotto molti punti di vista. Anzitutto, presentano un esempio istruttivo di proprietà di tipo “sintetico”, semplici e potenti (“sintetico” nel senso che permettono ad es. di dire senz’altro che raddoppiando il lato del tetraedro o il raggio della sfera il volume si ottuplica, senza bisogno di una conoscenza più precisa, “analitica”, su quale sia e come si calcoli il volume del tetraedro o della sfera). In particolare le proprietà sintetiche di questo tipo “dimensionale” (cioè dipendenti solo dalla natura delle grandezze in questione: qui lunghezze, aree, volumi, ma più in generale anche tempi, velocità, masse, forze, ecc.) sono istruttive per imparare a distinguere le nozioni fisiche ecc. e perchè spesso consentono di stabilire direttamente i rapporti tra comportamento di strutture effettive (fabbricati, navi, aerei, ecc.) e modelli in scala. Altra circostanza da notare… è il tipo di ragionamento….basato su approssimazioni che danno “al limite” una conclusione rigorosa.
E’ probabile che la maggior parte delle persone non si renda conto di quanto più rapidamente crescano le aree e più ancora i volumi al crescere delle dimensioni lineari (lunghezze).
Pensare ad esempio al peso di una valigia o al volume ( e ai costi di costruzione) di una stanza, quanto è l’aumento percentuale in relazione all’aumento delle dimensione lineari?
La prova scritta del 2006 è, però, nella sua interezza un tributo di riconoscenza a de Finetti per quanto Egli ha dato per la matematica, la scuola e l’insegnamento. Lo è non solo nei contenuti, nei legami con le applicazioni e con la realtà, ma anche nell’articolazione stessa della prova come risulterà dai paragrafi seguenti.
COMMENTS