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Una svista nella soluzione del problema delle pecore

Nella Matematica dilettevole e curiosa di Italo Ghersi, una svista nella soluzione del problema delle pecore del pastore Numidio. Una svista mai corretta? 

Italo Ghersi (1861-1925)

Maneggio la mia edizione del 1978 di “Matematica dilettevole e curiosa” più o meno da quell’epoca, quando il mio amato padre me lo regalò, indirizzando scientemente una carriera. Credo che la prima edizione di questo famoso libro di Italo Ghersi risalga ai primi anni del secolo scorso. È abbastanza curioso, appunto, che mi sia accorto solo ora di una “svista”.

Non so se qualcuno l’ha fatta già notare, né se nelle edizioni successive sia stata corretta.

Il problema in cui si trova la svista si intitola Quante pecore?

Nell’edizione in mio possesso è a pagina 10. Ne riporto integralmente il testo:

«Lisippo chiese al pastore Numidio quante pecore possedesse. Rispose il pastore: non lo so esattamente, ma se le conto per due, per tre, per quattro, per cinque o per sei, sempre ne avanza una, mentre se le conto per sette, nessuna ne avanza. Al che Lisippo tosto rispose: Ebbene, Numidio, tu hai 721 pecore. Infatti il numero delle pecore doveva essere il prodotto di 2 x 3 x 4 x 5 x 6 aumentato di una unità».

Senza scomodare, per il momento, l’aritmetica modulare, si può ragionare così:

siccome il minimo comune multiplo di 2, 3, 4, 5, e 6 è 60, sembra evidente che il numero richiesto è un multiplo di 60 aumentato dell’unità.

Si provi con i primi multipli di 60, ottenendo 61, 121, 181, 241, 301. Tombola! 301 è una soluzione. Ad essa si aggiungono tutte le infinite altre ottenute sommando i multipli comuni di 60 e 7, vale a dire 420. Quindi 721 è solo il secondo della serie dei numeri positivi che sono soluzione del problema.

Va bene uno qualsiasi dei numeri 301 + k·420, con k intero naturale.

Se si usa l’aritmetica modulare, la faccenda richiede davvero poco lavoro e rende esplicito ciò che sembra casuale nel reperimento del primo numero soluzione, cioè 301.

Vediamo un po’.

Per quanto detto sopra una soluzione del problema è data da ogni numero x tale che:

60x+1≡0 (mod 7);     60x ≡ -1 (mod 7);       60x ≡ 6 (mod 7);

Siccome 60 ≡ 4 (mod 7), e 2 è l’inverso di 4 in mod 7, allora:

4x ≡ 6 (mod 7);   x ≡ 12 (mod 7); x ≡ 5 (mod. 7).

Quindi per x = 5, 12, 19… si ottiene la soluzione già trovata con un ragionamento elementare 301 + k·420, con k intero naturale

Infatti si noti che per x = 5 si ottiene 301 e la formula trovata si può riscrivere in virtù delle classi di congruenza di 5 come

N = 60 (5 + 7i) +1

N = 60 · 5 + 1 + 60 · 7i

N= 301 + 420i, con i intero naturale.

Detto questo, si può generalizzare il problema delle pecore in un qualsiasi altro modo.

NOTA

Malgrado i meriti oggettivi, appare strano che Italo Ghersi non figuri tra i matematici italiani del primo secolo dello Stato unitario elencati da Francesco Giacomo Tricomi.

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