Una semicirconferenza, lo sviluppo binomiale e il calcolo delle aree: così Newton trasformò il modo di approssimare \(\pi\). Un posto nella formazione degli insegnanti.
«Mi vergogno di dirvi fino a quale cifra decimale ho condotto i miei calcoli, ma all’epoca non avevo nient’altro che mi occupasse».
Così Isaac Newton ricordava, con un po’ d’imbarazzo, i calcoli compiuti per approssimare \(\pi\). Non disse fino a quale cifra li avesse realmente condotti. Nel Methodus fluxionum et serierum infinitarum ne presentò sedici: forse non tutte quelle che aveva calcolato, certamente abbastanza da mostrare la straordinaria efficacia del procedimento che aveva escogitato.
Le biblioteche matematiche custodiscono innumerevoli pagine dedicate alle approssimazioni di \(\pi\) e ai procedimenti elaborati nel corso dei secoli per ottenerle. Non tutti questi metodi, tuttavia, hanno la stessa rilevanza nella storia della matematica. Alcuni non si limitano a rendere il calcolo più rapido o più preciso, ma introducono un autentico cambiamento del punto di vista: aprono una strada nuova e mostrano che un antico problema può essere affrontato con strumenti concettuali diversi.
Sono soprattutto questi passaggi di rottura a possedere un grande valore didattico e a meritare un posto nell’insegnamento ed è questo il motivo per cui sono fondamentali nella formazione dei docenti. Come si è osservato a proposito delle lunule, la storia della matematica diventa particolarmente feconda quando permette di riconoscere non soltanto una successione di risultati, ma anche la pluralità delle forme di pensiero che li hanno prodotti. Da questo punto di vista, fra i metodi pensati per approssimare \(\pi\), un posto di particolare rilievo spetta a quello ideato da Newton.
Il Methodus, composto nel 1671 e rimasto inedito per molti anni, sviluppava le idee del De Analysi di qualche anno prima. Ma è in quest’opera, pubblicata postuma in traduzione inglese nel 1736, che Newton presentò il valore di \(\pi\) con sedici cifre decimali, ottenute sommando venti termini dello sviluppo binomiale di \(\sqrt{1-x}\).
Nel seguito non ripercorreremo l’intero calcolo fino alla sedicesima cifra: per mettere in luce il procedimento e la sua efficacia sarà sufficiente arrestarsi ai primi nove termini della serie.
William Dunham, che incluse il risultato di Newton nella sua lista dei grandi teoremi, commenta:
Coloro che sanno apprezzare la sottile bellezza della matematica non terranno conto della vergogna di Newton e gli saranno grati, al contrario, del fatto che nessun altro affare più urgente occupasse la sua fertile mente quando era «… nel fiore dell’età per quanto riguarda le facoltà inventive e [si occupava] di matematica e di filosofia più di quanto sia mai più avvenuto».
Vale la pena di ricordare, come osserva Morris Kline, che le parole di Newton — «non avevo nient’altro che mi occupasse» — si comprendono meglio alla luce delle circostanze in cui quei calcoli furono compiuti. Erano gli anni della peste, il 1665 e il 1666. In seguito alla chiusura dell’Università di Cambridge, Newton si ritirò nella casa di famiglia a Woolsthorpe: furono anni di isolamento, ma anche di eccezionale fecondità intellettuale, durante i quali presero forma alcune delle sue idee fondamentali sul calcolo, sulle serie infinite, sull’ottica e sulla gravitazione.
Il procedimento seguito da Newton combina con sorprendente naturalezza geometria, sviluppo binomiale e calcolo delle aree. Tutto prende avvio da una semicirconferenza opportunamente scelta.
La semicirconferenza ha centro nel punto \(C\left(\frac12,0\right)\) e raggio \(r=\frac12\), come nella figura.
L’equazione della circonferenza è
\left(x-\frac12\right)^2+(y-0)^2=\left(\frac12\right)^2,
\]
ovvero
x^2-x+\frac14+y^2=\frac14.
\]
Semplificando e risolvendo rispetto a \(y\), si ottiene l’equazione della semicirconferenza superiore:
y=\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}\sqrt{1-x}=x^{\frac12}(1-x)^{\frac12}.
\]
La ragione per la quale Newton scelse proprio questa semicirconferenza può sembrare, per il momento, misteriosa; ma anche per lui non dovette essere una scelta immediata.
L’espressione \((1-x)^{\frac12}\) può essere sviluppata mediante il teorema binomiale generalizzato, vero cavallo di battaglia di Newton. Per un esponente qualsiasi \(\alpha\), esso assume la forma
(1+t)^\alpha
=
\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^n,
\qquad |t|<1,
\]
dove i coefficienti binomiali generalizzati sono definiti da
\binom{\alpha}{n}
=
\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
\qquad
\binom{\alpha}{0}=1.
\]
Ponendo \(\alpha=\frac12\) e \(t=-x\), si ottiene
(1-x)^{\frac12}
=
\sum_{n=0}^{\infty}
\binom{\frac12}{n}(-x)^n.
\]
Calcolando i primi coefficienti, lo sviluppo diventa
\begin{gathered}
(1-x)^{\frac12}
=
1-\frac12x-\frac18x^2-\frac1{16}x^3\\[5pt] \phantom{(1-x)^{\frac12}=}
-\frac5{128}x^4-\frac7{256}x^5-\ldots
\end{gathered}
\]
Poiché l’equazione della semicirconferenza è
y=x^{\frac12}(1-x)^{\frac12},
\]
moltiplicando lo sviluppo per \(x^{\frac12}\) si ottiene
\begin{gathered}
y=
x^{\frac12}
-\frac12x^{\frac32}
-\frac18x^{\frac52}\\[5pt] \phantom{y=}
-\frac1{16}x^{\frac72}
-\frac5{128}x^{\frac92}
-\frac7{256}x^{\frac{11}{2}}
-\ldots
\end{gathered}
\]
Nel nostro caso \(0\leq x\leq\frac14\), quindi la condizione di convergenza \(|x|<1\) è pienamente soddisfatta.
È adesso il momento della scelta decisiva. Preso il punto \(B\left(\frac14,0\right)\) sul diametro, ossia sull’asse \(x\), Newton traccia la perpendicolare \(BD\) al diametro \(AE\) e calcola l’area ombreggiata \(ABD\) in due modi diversi.
1. Area \(ABD\) col metodo delle flussioni
Newton calcola anzitutto l’area \(ABD\) con il metodo delle flussioni. Nel linguaggio moderno, quest’area è espressa dall’integrale della funzione
y=x^{\frac12}(1-x)^{\frac12}
\]
nell’intervallo compreso tra \(0\) e \(\frac14\):
\operatorname{Area}(ABD)
=
\int_0^{\frac14}x^{\frac12}(1-x)^{\frac12}\,dx.
\]
Newton, naturalmente, non adopera la moderna notazione integrale, ma in sostanza procede sostituendo alla funzione il suo sviluppo in serie:
\begin{gathered}
x^{\frac12}(1-x)^{\frac12}
=
x^{\frac12}
-\frac12x^{\frac32}
-\frac18x^{\frac52}\\[5pt] \phantom{x^{\frac12}(1-x)^{\frac12}=}
-\frac1{16}x^{\frac72}
-\frac5{128}x^{\frac92}
-\frac7{256}x^{\frac{11}{2}}
-\ldots
\end{gathered}
\]
Può quindi determinare l’area integrando la serie termine a termine. Si applica ogni volta la regola
\int x^\alpha\,dx
=
\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
\]
Per esempio, i primi termini diventano
\begin{gathered}
\int x^{\frac12}\,dx=\frac23x^{\frac32},\\[5pt] \int\left(-\frac12x^{\frac32}\right)dx
=
-\frac12\cdot\frac25x^{\frac52}
=
-\frac15x^{\frac52}.
\end{gathered}
\]
Procedendo nello stesso modo con tutti gli altri termini, Newton ottiene la seguente espressione per l’area compresa tra \(0\) e un generico punto di ascissa \(x\):
\begin{gathered}
A(x)=
\frac23x^{\frac32}
-\frac12\left(\frac25x^{\frac52}\right)
-\frac18\left(\frac27x^{\frac72}\right)\\[5pt] \phantom{A(x)=}
-\frac1{16}\left(\frac29x^{\frac92}\right)
-\frac5{128}\left(\frac2{11}x^{\frac{11}{2}}\right)
-\ldots
\end{gathered}
\]
Semplificando i coefficienti, si ottiene
\begin{gathered}
A(x)=
\frac23x^{\frac32}
-\frac15x^{\frac52}
-\frac1{28}x^{\frac72}\\[5pt] \phantom{A(x)=}
-\frac1{72}x^{\frac92}
-\frac5{704}x^{\frac{11}{2}}
-\ldots
\qquad\text{(b)}
\end{gathered}
\]
Poiché il segmento \(BD\) incontra l’asse delle ascisse nel punto \(B\left(\frac14,0\right)\), per ottenere l’area \(ABD\) basta porre \(x=\frac14\) nella serie (b):
\operatorname{Area}(ABD)
=
A\left(\frac14\right).
\]
Il calcolo delle potenze risulta particolarmente semplice. Infatti
\begin{gathered}
\left(\frac14\right)^{\frac32}
=
\left(\frac12\right)^3
=
\frac18,\\[5pt] \left(\frac14\right)^{\frac52}
=
\left(\frac12\right)^5
=
\frac1{32}
\end{gathered}
\]
e, più in generale,
\left(\frac14\right)^{\frac{2k+1}{2}}
=
\left(\frac12\right)^{2k+1}
\]
Sommando i primi nove termini della serie, Newton ottiene dunque
\begin{gathered}
\operatorname{Area}(ABD)\approx
\frac1{12}
-\frac1{160}
-\frac1{3584}
-\frac1{36\,864}
-\frac5{1\,441\,792}\\[5pt] \phantom{\operatorname{Area}(ABD)\approx}
-\frac7{13\,631\,488}
-\frac7{83\,886\,080}
-\frac{33}{2\,281\,701\,376}\\[5pt] \phantom{\operatorname{Area}(ABD)\approx}
-\frac{429}{163\,208\,757\,248}
=
0{,}07677310678.
\end{gathered}
\]
Si tratta ancora di un’approssimazione, perché dello sviluppo infinito sono stati considerati soltanto nove termini. La rapidità con cui i termini successivi diventano piccoli, tuttavia, consente già di ottenere un valore dell’area estremamente preciso.
2. Area \(ABD\) con la geometria
Newton riconsidera adesso l’area ombreggiata dal classico punto di vista geometrico. Per prima cosa calcola l’area del triangolo \(DBC\). Sapendo che la lunghezza di \(\overline{BC}\) è \(\frac14\), mentre \(\overline{CD}\), in quanto raggio, è lungo \(\frac12\), una semplice applicazione del teorema di Pitagora al triangolo \(DBC\) dà
\overline{BD}
=
\sqrt{\left(\frac12\right)^2-\left(\frac14\right)^2}
=
\sqrt{\frac3{16}}
=
\frac{\sqrt3}{4}
\]
Da cui si ricava
\operatorname{Area}(\triangle DBC)
=
\frac12(\overline{BC})(\overline{BD})
=
\frac12\left(\frac14\right)\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)
=
\frac{\sqrt3}{32}
\]
Newton cerca adesso l’area del settore circolare \(ACD\). Ancora una volta è il triangolo \(DBC\) a fornire la chiave. Siccome \(BC\) è lungo esattamente la metà dell’ipotenusa \(CD\), egli riconosce di trovarsi davanti a un triangolo rettangolo particolare: l’angolo \(\widehat{BCD}\) misura \(60^\circ\).
Comprendiamo ora chiaramente perché Newton abbia scelto quella semicirconferenza e quella particolare posizione del punto \(B\). Con questa scelta si ottiene infatti un settore il cui angolo al centro misura \(60^\circ\), cioè un terzo dell’angolo piatto corrispondente alla semicirconferenza. La sua area è quindi un terzo di quella del semicerchio:
\begin{gathered}
\operatorname{Area}(\text{settore }ACD)
=
\frac13\operatorname{Area}(\text{semicerchio})
=
\frac13\left(\frac12\pi r^2\right)
=
\frac13\left[\frac12\pi\left(\frac12\right)^2\right] =
\frac{\pi}{24}
\end{gathered}
\]
Ecco finalmente comparire \(\pi\): siamo ormai a un passo dal risultato. Il calcolo geometrico fornisce infatti per l’area \(ABD\) il valore
\operatorname{Area}(ABD)
=
\operatorname{Area}(\text{settore }ACD)
-
\operatorname{Area}(\triangle DBC)
=
\frac{\pi}{24}-\frac{\sqrt3}{32}.
\]
La stessa area era stata approssimata, mediante il metodo delle flussioni e lo sviluppo binomiale, con il valore \(0{,}07677310678\). Uguagliando i due risultati, si ottiene
0{,}07677310678
\approx
\frac{\pi}{24}-\frac{\sqrt3}{32}.
\]
Risolvendo rispetto a \(\pi\), si trova infine
\pi
\approx
24\left(
0{,}07677310678+\frac{\sqrt3}{32}
\right)
=
3{,}141592668\ldots
\]
Con appena nove termini dello sviluppo binomiale si ottengono così sette cifre decimali corrette di \(\pi\). Il valore trovato differisce da quello effettivo di circa \(1{,}48\cdot10^{-8}\), vale a dire meno di \(0{,}000000015\).
Il progresso rispetto ai lunghi e laboriosi calcoli di Viète e di Van Ceulen è considerevole. Con questa tecnica, una volta approssimata l’area mediante la serie, la difficoltà numerica più rilevante rimane la determinazione sufficientemente precisa di \(\sqrt{3}\); ma anche per il calcolo delle radici Newton poteva ricorrere al teorema binomiale.
La via aperta da Newton segna storicamente una radicale alternativa a quella tracciata quasi duemila anni prima da Archimede. Questi aveva trasformato l’approssimazione di \(\pi\) in un procedimento geometrico rigoroso: inscrivendo e circoscrivendo al cerchio poligoni con un numero crescente di lati, aveva racchiuso il valore di \(\pi\) fra limiti sempre più vicini. Newton sale sulle spalle dei giganti che lo hanno preceduto e compie un passaggio altrettanto radicale, ma in un nuovo universo matematico: la semicirconferenza diventa un’espressione algebrica, l’espressione si sviluppa in una serie infinita, la serie consente di calcolare un’area e dall’area si risale a \(\pi\).
Fra Archimede e Newton si estende, naturalmente, una storia ricchissima di risultati e di metodi. Eppure le loro vie rimangono due grandi punti di riferimento. Archimede mostra come avvicinarsi al cerchio mediante il rettilineo; Newton come affidare la curva al linguaggio dell’algebra e dell’infinito. L’uno fonda un paradigma geometrico destinato a durare per secoli; l’altro rivela la potenza del nuovo pensiero analitico.
L’una e l’altra via dovrebbero occupare un posto importante nella formazione dei docenti di matematica. Conoscerle significa maturare una diversa sensibilità verso la matematica e il suo insegnamento. Nel passaggio dai poligoni di Archimede alla serie di Newton si incontrano questioni fondamentali — l’approssimazione, l’errore, il limite, il rapporto tra discreto e continuo, tra rettilineo e curvilineo, tra geometria e analisi — che attraversano l’intero insegnamento della matematica.
Un docente che abbia percorso entrambe queste strade dispone di una ricca trama di stimoli e di riflessioni attraverso cui presentare \(\pi\). È anche così, facendone uno strumento di comprensione della matematica, che la sua storia diventa una componente essenziale della formazione dei docenti.
È infine suggestivo osservare che queste due vie verso \(\pi\) si debbano ad Archimede e a Newton, due menti universalmente ritenute fra le più grandi della storia della matematica e alle quali alcuni affiancano soltanto Gauss. Ancora più suggestivo è che proprio in \(\pi\) esse trovino una loro radice comune.
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