Maturità 2026 – Sessione suppletiva. La soluzione del Problema 1
Il Problema 1 della prova suppletiva di Matematica 2026 è costruito attorno a un buon intreccio tra geometria e analisi. Dalla determinazione del parametro che individua un quadrato inscritto, si passa alla costruzione di una cubica con flesso nell’origine e di una parabola, fino al calcolo delle aree mediante l’integrazione. Un percorso articolato che richiede padronanza di strumenti diversi e la capacità di metterli in relazione. A differenza della sessione ordinaria, la traccia è priva di qualsiasi frase d’autore introduttiva.
Problema 1
Ai maestri artigiani di Deruta è stata commissionata la realizzazione di un tavolo in ceramica da esterni, di forma quadrata, di lato 1 metro. Sulla superficie del tavolo, si chiede di raffigurare un quadrato con ciascun vertice posto a distanza \(d\) dagli spigoli e due linee che lo dovranno attraversare per delimitare le parti da destinare alla decorazione (come in figura).
L'area della superficie ombreggiata equivale ai \(\frac{3}{5}\) della rimanente.
a)
Determinare la distanza \(d\) tra \(B\) e \(F\).
Si consideri un sistema di riferimento con origine nel punto \(O\), centro del tavolo, e i semiassi positivi delle ascisse e delle ordinate passanti, rispettivamente, per il punto medio di \(CD\) e \(AD\).
La curva \(\gamma_1\), che unisce due vertici opposti \(E\) e \(G\) del quadrato interno, è descritta da una funzione polinomiale di terzo grado ed ha un flesso a tangente orizzontale nel punto \(O\).
Fissato \(d=\frac14\), ricavare l'espressione analitica \(f_1(x)\) di \(\gamma_1\), definita nell'intervallo
\[
\left[-\frac12,\;\frac12\right].
\]
D'ora in avanti si ponga
\[
f_1(x)=-2x^3.
\]
b)
Il maestro artigiano afferma:
«Il lato \(EF\) è tangente a \(\gamma_1\) nel punto \(E\).»
Dimostrare che l'affermazione è falsa e determinare l'ampiezza dell'angolo che \(EF\) forma con la retta tangente.
c)
La curva \(\gamma_2\), che unisce i vertici opposti \(F\) e \(H\) del quadrato, è costituita dagli archi di due parabole, tra loro simmetriche rispetto al vertice \(O\), comune ad entrambe.
Definire a tratti la funzione \(f_2\), che descrive \(\gamma_2\) nell'intervallo
\[
\left[-\frac14,\;\frac14\right].
\]
Il maestro artigiano afferma:
«Le curve \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) sono tangenti in \(O\).»
Dimostrare che l'affermazione è vera.
Si assuma
\(f_2(x)=-8x^2\) per \(-\frac14\le x\le 0\), mentre
\(f_2(x)=8x^2\) per \(0<x\le \frac14\).
d)
Calcolare l'area di ciascuna delle quattro superfici che \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) determinano sul quadrato interno EFGH.
La soluzione: IL PDF
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