Le risposte ai quesiti 1–4

Maturità scientifica 2025 – Sessione straordinaria. Le risposte ai quesiti 1–4 della prova di Matematica dell’11 settembre

Di seguito pubblichiamo le soluzioni ai primi quattro quesiti della traccia della sessione straordinaria.

Quesito 1

Determinare il perimetro e l’area di un poligono regolare di lato 4 cm, sapendo che gli angoli interni sono ampi 150°.

Soluzione

Il numero \(n\) dei lati del poligono si ricava dalla relazione \(n\alpha=(n-2)\pi\), dove \(\alpha\) è l’ampiezza di ciascun angolo interno:
\[
n=\frac{2\pi}{\pi-\alpha}
\] Essendo \(\alpha=\tfrac{5}{6}\pi\), si ha
\[
n=\frac{2\pi}{\pi-\frac{5}{6}\pi}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}}=12
\] Il poligono è un dodecagono regolare di lato \(4\,\text{cm}\); pertanto, la misura del perimetro è \(48\,\text{cm}\).

L’ampiezza dell’angolo al centro è \(\tfrac{\pi}{6}\). Per calcolare il valore dell’area, determiniamo la misura del segmento \(OM\), apotema del poligono e altezza del triangolo isoscele di base \(AB\).
Gli angoli alla base del triangolo \(ABO\) hanno ampiezza \(\tfrac{5}{12}\pi\). Pertanto,
\[
\overline{OM}=\overline{AM}\,\tan\!\left(\tfrac{5}{12}\pi\right)=\overline{AM}\,(2+\sqrt{3})
\] Infatti
\[
\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=
\frac{\sin\left(\tfrac{5}{6}\pi\right)}{1+\cos\left(\tfrac{5}{6}\pi\right)}=
\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}
\] Con \(AM=\tfrac{s}{2}=2\) e \(P=48\), l’area risulta
\[
A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{48\cdot\bigl(2(2+\sqrt{3})\bigr)}{2}
=24\,(4+2\sqrt{3})=96+48\sqrt{3}\ \text{cm}^2\approx 179{,}14\ \text{cm}^2
\]

Quesito 2

Un’urna contiene 16 palline numerate da 1 a 16. Vengono estratte in blocco 5 palline dall’urna; qual è la probabilità che il numero più grande tra quelli usciti sia maggiore di 9?

Soluzione

Il numero di cinquine che si possono ottenere estraendo in blocco 5 palline in un gruppo di 16 corrisponde al numero di combinazioni di classe 5 di 16 oggetti:
\[
\binom{16}{5}=\frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12}{5!}=4368
\] Il numero delle cinquine che contengono almeno un numero maggiore di 9 è complementare del numero di cinquine che contengono solo numeri \(\le 9\). Calcoliamo, pertanto, la probabilità dell’evento
\[
A:\ \{\text{la cinquina estratta è costituita da numeri compresi tra 1 e 9, estremi inclusi}\}
\] \[
\mathbb{P}(A)=\frac{\binom{9}{5}}{\binom{16}{5}}=\frac{126}{4368}=\frac{3}{104}
\] L’evento complementare è
\[
B=\overline{A}:\ \{\text{la cinquina estratta contiene almeno un numero maggiore di 9}\},
\] \[
\mathbb{P}(B)=1-\frac{3}{104}=\frac{101}{104}\approx 0{,}9712
\]

Metodo diretto

Suddividiamo idealmente l’insieme delle 16 palline in due gruppi: il gruppo \(A\) costituito dalle 7 palline corrispondenti ai numeri > 9 e il gruppo \(B\) costituito dalle 9 palline contrassegnate con numeri \(\le 9\).
Il gruppo delle 5 palline estratte conterrà \(\binom{7}{k}\) palline provenienti dal gruppo \(A\) e \(\binom{9}{5-k}\) provenienti dal gruppo \(B\); quindi, la scelta può avvenire in \(\binom{7}{k}\cdot \binom{9}{5-k}\) modi diversi.

All’evento \(A\) corrisponde solo la prima riga (tutte \(\le 9\)); all’evento \(B\) l’unione delle rimanenti. La distribuzione dei valori del prodotto \(\binom{7}{k}\cdot \binom{9}{5-k}\), in funzione di \(k\), spiega il risultato \(\mathbb{P}(B) > \mathbb{P}(A)\).

Quesito 3

Quanti sono i numeri naturali di tre cifre tali che la cifra “8” compare almeno una volta? Quanti quelli in cui la cifra “0” compare almeno una volta?

Soluzione

I numeri di 3 cifre sono in tutto \(9\cdot 10^2=900\) (la prima cifra non può essere 0).

Quelli che non contengono la cifra 8 sono \(8\cdot 9^2=648\); quelli che la contengono almeno una volta sono
\[
9\cdot 10^2-8\cdot 9^2=900-648=\mathbf{252}
\] Quelli che non contengono la cifra 0 sono \(9^3=729\); quelli che la contengono almeno una volta sono
\[
9\cdot 10^2-9^3=900-729=\mathbf{171}
\]

Quesito 4

Mostrare che, nello spazio tridimensionale, il piano di equazione \(x+2y-3z-7=0\) è tangente alla superficie sferica \(S\) di equazione \(x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-8=0\) e stabilire le coordinate del punto di tangenza \(T\). Scrivere, inoltre, l’equazione di una retta che sia tangente alla superficie \(S\) nel punto \(T\).

Soluzione

Un piano è tangente a una sfera se e solo se la sua distanza dal centro è uguale al raggio della sfera.
La superficie sferica \(S\) ha il centro nel punto \(C(1,-1,2)\) e raggio di lunghezza
\[
r=\sqrt{1+1+4+8}=\sqrt{14}
\] La retta \(n\) passante per \(C\) e perpendicolare al piano \(\pi:\ x+2y-3z-7=0\), di vettore normale \((1,2,-3)\), ha equazioni parametriche
\[
n:\ \begin{cases}
x=1+t\\
y=-1+2t\\
z=2-3t
\end{cases}
\] Il punto \(P\) di intersezione di \(n\) con \(\pi\) corrisponde al valore di \(t\) che soddisfa
\[
1+t+2(-1+2t)-3(2-3t)-7=0 \ \Rightarrow\ t=1.
\] Pertanto \(P=(2,1,-1)\). Poiché \(\overline{PC}=\sqrt{14}=r\), il piano \(\pi\) è tangente alla sfera \(S\) e \(P\) coincide con \(T\), punto di tangenza.

Una qualsiasi retta passante per \(T\) e giacente sul piano \(\pi\) è tangente alla superficie sferica \(S\) e può essere determinata come intersezione di \(\pi\) con un piano del fascio avente come sostegno la retta \(n\).
Dalle equazioni parametriche di \(n\) si possono individuare due piani \(\alpha\) e \(\beta\) che la contengono:
\[
\begin{cases}
t=x-1\\[2pt] t=\dfrac{y+1}{2}\\[6pt] t=\dfrac{2-z}{3}
\end{cases}
\ \Rightarrow\
r:\ \begin{cases}
x-1=\dfrac{y+1}{2}\\[6pt] x-1=\dfrac{2-z}{3}
\end{cases}
\ \Rightarrow\
\begin{cases}
2x-y-3=0\\
3x+z-5=0
\end{cases}
\] Il fascio di piani passanti per \(n\) è dato da
\[
2x-y-3+k(3x+z-5)=0 \ \Rightarrow\ (2+3k)x - y + kz -3-5k=0.
\] Le infinite rette giacenti su \(\pi\) e tangenti in \(T\) alla sfera sono individuate dal sistema
\[
\begin{cases}
(2+3k)x - y + kz -3-5k=0\\
x+2y-3z-7=0
\end{cases}
\] Una retta particolare si ottiene imponendo, al piano del fascio, il passaggio per il punto d’intersezione di \(\pi\) con l’asse \(y\): \(Q\left(0,\tfrac{7}{2},0\right)\).
Sostituendo si ottiene \(-\tfrac{7}{2}-3-5k=0 \Rightarrow k=-\tfrac{13}{10}\), e quindi
\[
\begin{cases}
19x+10y+13z-35=0\\
x+2y-3z-7=0
\end{cases}
\] Trascurando il caso generale, la retta \(r\) può essere determinata anche come retta congiungente i due punti \(T\) e \(Q\):
\[
\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{\tfrac{5}{2}}=\frac{z+1}{1}\qquad (\text{retta } r).
\] I due sistemi rappresentano la stessa retta, passante per \(T\) e \(Q\), vista come intersezione di coppie di piani diversi.