Numeri naturali e partizioni ordinate

Dalle cifre consecutive alle partizioni ordinate: un percorso intuitivo tra numeri naturali e formule generatrici

Presentazione

Il lavoro è dedicato allo studio di alcuni numeri naturali. In particolare, prenderemo in considerazione quelli che si possono scrivere usando le nove cifre, da 1 a 9, prese singolarmente oppure associate tra di loro.

I primi numeri sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cioè quelli formati da una sola cifra, compresi quindi nell’intervallo (0; 10).

I successivi sono quelli che si possono formare considerando due cifre, una successiva dell’altra e senza ripetizioni, cioè: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89. Questi ricadono nell’intervallo (10; 100).

Proseguendo, consideriamo i numeri formati da tre cifre: 123, 234, 345, 456, 567, 678, 789, i quali sono compresi nell’intervallo (100; 1000). Con la certezza che a nessuno mancherà la fantasia per proseguire, limitiamo l’elenco considerando il penultimo intervallo, (10⁷; 10⁸) con la coppia di numeri 12345678 e 23456789, giungendo quindi all’ultimo numero che si può considerare, cioè: 123456789 > 10⁸.

Stabilita la formula generatrice di uno qualunque di questi numeri, si passa alla ricerca della possibile rappresentazione per mezzo di una partizione ordinata degli stessi. L’approccio è volutamente di tipo intuitivo e i primi risultati sono confortanti infatti, con un poco di impegno si giunge a formulare l’Uguaglianza Notevole che formalizza il problema proposto, e cioè:

Dato un numero ordinato, nel senso visto in precedenza, trovare una sua rappresentazione per mezzo di una partizione di numeri successivi ed ordinati, la cui somma coincide col numero stesso.

Appare subito chiaro che, oltre alla rappresentazione banale, non esistono partizioni per i primi 9 numeri e per l’ultimo dei 45 possibili. Il problema viene risolto solo per i numeri 12 e 567.

L’indagine prosegue, anche con l’aiuto del software Derive, ma i risultati sono negativi.

I termini dell’uguaglianza sono collegati soltanto dalla variabile che rappresenta la prima cifra del numero cercato, per cui è necessario considerare altre strategie capaci di offrire risultati convincenti sulla possibilità che esistano altri numeri, negli intervalli, che ammettono una rappresentazione per mezzo di una somma ordinata di numeri naturali, avente come primo termine il successivo del termine delle unità del numero dato.
Quando abbiamo iniziato ad organizzare i vari appunti redatti sull’idea primitiva del problema, abbiamo pensato di trovarci in una Classe del triennio delle Scuole Superiori, dove l’Uditorio ha già una certa dimestichezza con il discorso matematico. Per questo motivo siamo certi che gli argomenti trattati ed il formalismo necessario siano graditi e compresi nella loro complessità generale. La dimostrazione della uguaglianza notevole viene trattata per mezzo di possibili stime dei valori delle grandezze rappresentate. Questo modo di procedere ben si collega al metodo messo in atto per determinare l’espressione sintetica generale, attraverso passaggi rigorosi e logicamente collegati tra di essi, e completa il lavoro passo-passo svolto in precedenza.

1. Numeri naturali particolari 

2. Partizioni di un numero naturale ordinato

3. Una uguaglianza notevole

4. Confronto fra stime