La lezione dimenticata dell’integrale definito: la colpa è dei Quadri che occorre però leggere con gli occhi della saggezza e del perdono verso coloro che non sapevano quel che scrivevano.
Da qualche tempo e da più parti si rileva uno scadimento del dibattito sull’insegnamento, che emerge da vari aspetti: i concorsi a cattedre, la qualità delle Nuove Indicazioni Nazionali per la scuola dell’infanzia e del primo ciclo, la povertà matematica in cui è precipitata la seconda prova scritta della maturità scientifica, tornata, tra l’altro, ad essere di sola matematica.
Ne abbiamo parlato spesso e di recente in Perché siamo scarsi in matematica e in La traccia della sessione straordinaria. Quest’ultimo articolo mette in luce come le tracce assegnate siano prive di ogni vera dimensione concettuale e interdisciplinare (assente finanche ogni legame con la fisica); mancano di qualsiasi accenno ai metodi di approssimazione numerica e, soprattutto, di quella molteplicità di applicazioni che rafforzavano la comprensione del concetto di integrale definito nella pienezza e ricchezza dei suoi significati.
È con riferimento a tale articolo che un professore di liceo, intervenendo sulla pagina social di Matmedia, ha commentato che «l’applicazione degli integrali al calcolo dei volumi è esclusa dai Quadri di riferimento della seconda prova dello scientifico: dunque, è naturale che non compaia — e non potrà comparire». Un giudizio che si fonda ovviamente sul punto 23 dei Quadri:
“Interpretare geometricamente l’integrale definito e applicarlo al calcolo delle aree.”
Un patatrac redazionale
L’attento professore non ha completamente torto: quella formulazione, assunta alla lettera, sembra davvero chiudere il campo al calcolo dei volumi. Ma, ovviamente, non può essere così! A chiunque abbia dimestichezza con questi problemi appare evidente che quella limitazione è un delitto pedagogico che annienta peraltro una tradizione didattica consolidatasi proprio attraverso le prove di maturità.
È un punto in cui chi ha scritto i Quadri “non aveva coscienza” di ciò che scriveva. “Interpretare geometricamente l’integrale definito” è un’espressione generale, mentre “applicarlo al calcolo delle aree” è una specificazione riduttiva. Si è trattato, con ogni probabilità, di una dimenticanza, di un troncamento involontario della frase.
Interpretare geometricamente un integrale definito non significa soltanto leggerlo come misura di un’area piana. L’interpretazione va condotta nella sua piena generalità: è questa che dà forza al concetto e fa in modo che gli studenti lo acquisiscano nella sua interezza.
Non tenerne conto equivale a trasmettere un concetto dimezzato, contribuendo a quella povertà matematica che sta affliggendo la scuola in modo sempre più pervasivo e preoccupante.
Vedere l’integrale come una misura: "somma" continua di elementi infinitesimi che costruiscono una grandezza.
Non solo aree, ma anche volumi e superfici.
È il passaggio dal simbolo alla forma, dal calcolo alla comprensione. La derivata del volume di una sfera rispetto al raggio dà la superficie e l'operazione inversa, l'integrale, riporta al volume.
Come uscire dal patatrac
Se può apparire improponibile — alla luce della formulazione attuale dei Quadri — un quesito del tipo «assegnato il solido, calcolarne il volume», non così è per il quesito inverso: «assegnato l’integrale definito, interpretarlo geometricamente».
Questo dovrebbe essere perfettamente lecito e di grande valore didattico specie se accompagnato dalla spiegazione dell'interpretazione: Perché?
$$\int_{0}^{R} 2\pi x \, dx \quad \longrightarrow \quad \text{Area del disco di raggio } R$$
$$\int_{r}^{R} 4\pi x^{2}\,dx \quad \longrightarrow \quad \textbf{Volume compreso tra due sfere concentriche di raggi } r \text{ e } R$$
(Interpretazione come guscio sferico; il caso \(r=0\) restituisce il volume della sfera di raggio \(R\).)
$$V = \int_{-R}^{R} \pi\bigl(R^2 - z^2\bigr)\,dz \quad \longrightarrow \quad \text{Volume della sfera come somma continua di dischi di raggio } r(z)=\sqrt{R^2 - z^2}$$
(Ogni disco rappresenta una sezione orizzontale della sfera; l’integrale ne accumula le aree fino a ricostruire il volume totale.)
$$\int_{0}^{1} 2\pi x \sin x \, dx \quad \longrightarrow \quad \text{Volume del solido di rotazione di } y=\sin x \text{ attorno all’asse } y$$
$$\int_{0}^{\pi} \pi \sin^{2} x \, dx \quad \longrightarrow \quad \text{Volume del solido di rotazione di } y=\sin x \text{ attorno all’asse } x$$
La logica è sempre la stessa: l’integrando rappresenta una grandezza elementare (la circonferenza, la superficie sferica, l’area di un disco) e l’integrale ne somma in modo continuo tutti i contributi. È così che si costruiscono aree, superfici e volumi: un’occasione preziosa per mostrare agli studenti la potenza concettuale dell’analisi matematica.
Un’occasione didattica da non perdere
Proporre quesiti di questo tipo significa restituire all’integrale definito la sua funzione più autentica: essere strumento di misura e di collegamento tra concetti matematici e figure geometriche. Invece di ridurre tutto a un puro esercizio di calcolo, lo studente è chiamato a riconoscere il significato dell’integrando, a visualizzare la costruzione geometrica che ne deriva e a cogliere il passaggio dall’elemento infinitesimo alla grandezza complessiva.
Se questa prospettiva venisse valorizzata anche nella prova scritta, la “povertà matematica” oggi denunciata potrebbe cominciare a restituire una parte della ricchezza educativa che ultimamente è stata negata. Tutto dipende dagli interpreti ministeriali chiamati a predisporre i testi.
In conclusione
Qui non si tratta di “forzare” i Quadri, ma di leggerli con sapienza, senza offendere la matematica e il suo insegnamento. Ridurli a una prescrizione mutilante significa cadere in quella che potremmo chiamare, con una punta di ironia, la legge dell’accumulo:
$$\text{Ignoranza}^n \;\;\longrightarrow\;\; Errore \;\;\longrightarrow\;\; Orrore$$
che altro non è che la legge della propagazione degli errori che i matematici ben conoscono.
Il professore che, con buona fede, ha richiamato il punto 23 dei Quadri, non ha alcuna colpa: è portato ad accettare, rassegnato, un dimezzamento concettuale che non gli spetta correggere. Tocca ad altri — e soprattutto a chi predispone le prove — evitare che un inciampo redazionale si trasformi in un assurdo didattico.
Non è di poco conto, infine, osservare che i Quadri di riferimento per la redazione delle prove scritte sono strumenti di cui la maggior parte dei docenti, dei dirigenti, degli addetti ai lavori, non conosce davvero la ragion d’essere.
La legge che li introduce — il D.Lgs. 62/2017 — non spiega perché esistano, né chiarisce quale sia il loro rapporto con le Indicazioni Nazionali, delle quali anzi sembrano smentire l’impianto fondante: quello delle conoscenze essenziali, ineliminabili e irrinunciabili.
E queste, va ricordato, non pongono alcun limite all’interpretazione geometrica dell’integrale definito, né escludono dall'insegnamento i metodi di approssimazione numerica.
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