La scomparsa dell'approssimazione nell'insegnamento e il metodo di Newton: un ponte tra geometria e calcolo differenziale. Un procedimento ingegnoso che ha aperto le porte a una nuova lettura matematica della Natura.
Isaac Newton (1642-1727)
L’attività matematica consiste essenzialmente nel risolvere problemi, e questo, nella maggior parte dei casi, conduce a risolvere equazioni. È naturale, dunque, che fin dai tempi più antichi l’uomo abbia imparato a cercare soluzioni di equazioni: trovare la soluzione di un’equazione significa, ora come allora, trovare la risposta a un problema.
Le soluzioni possono essere esatte oppure approssimate, possono derivare dall’applicazione di formule note oppure da tecniche più raffinate. Conosciamo formule semplici per le equazioni lineari e quadratiche, e formule più articolate per le cubiche e le quartiche, nelle quali però le soluzioni sono sempre espresse mediante radicali e operazioni algebriche.
Per le equazioni algebriche di grado cinque o superiore, invece, non esiste una formula generale che esprima le soluzioni in termini di radicali. Questo non significa che quelle equazioni non hanno soluzioni ma che per determinarle, bisogna ricorrere ad altri metodi. Tra questi, uno dei più efficaci e versatili, buono per ogni sorta di equazione, è il metodo di Newton (o Newton–Raphson), che unisce geometria, analisi e calcolo numerico in un’unica idea potente: approssimare le radici utilizzando le tangenti.
Il procedimento consiste nei seguenti passi
Dato un problema del tipo trovare le radici di \( f(x)=0 \), partiamo da una stima iniziale \( x_0 \).
Nel punto \( (x_0, f(x_0)) \) tracciamo la tangente al grafico di \( y=f(x) \) e ne calcoliamo l’intersezione con l’asse delle ascisse. Quell’intersezione è la nuova approssimazione \( x_1 \). Ripetendo il procedimento otteniamo una successione \( x_0,x_1,x_2,\dots \) che, in condizioni favorevoli, converge alla radice cercata: questo generalmente accade quando \( x_0 \) è interno ad un intervallo (a, b) tali che f(a) e f(b) hanno segni opposti.
L’equazione della tangente in \( (x_n,f(x_n)) \) è
\[
y - f(x_n) = f'(x_n)(x - x_n)
\] Ponendo \( y=0 \) (asse x) e risolvendo per \( x \) si ottiene:
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad f'(x_n)\neq 0
\] Nella figura la linea rossa rende più chiaro il procedimento iterativo: il zig-zag dei segmenti delle rette tangenti descrive l'orbita che si avvicina passo dopo passo alla radice cercata.
La teoria in sintesi
- Obiettivo. Costruire una successione di approssimazioni che tendano a una radice reale di \( f(x)=0 \).
- Velocità. Se la radice è semplice (\( f(r)=0,\, f'(r)\neq 0 \)) e \( x_0 \) è sufficientemente vicino, la convergenza è quadratica: l’errore approssimativamente si quadruplica in precisione a ogni passo.
- Fragilità. Scelte iniziali lontane dalla radice, derivate piccole o nulle, discontinuità e flessi orizzontali possono far fallire o rallentare il metodo.
Strategia operativa (Newton–Raphson)
1) Scegli una stima iniziale \( x_0 \) (il grafico di \( y=f(x) \) aiuta).
2) Itera finché l’errore è sotto soglia:
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
\] 3) Arresta quando \( |x_{n+1}-x_n| \) o \( |f(x_n)| \) è minore della tolleranza fissata.
La pratica: due esempi classici
Esempio 1 – Calcolo di \(\sqrt{2}\)
Vogliamo determinare la radice positiva di
\[
f(x) = x^2 - 2 = 0.
\]
La derivata è \(f'(x)=2x\), e quindi la ricorrenza di Newton diventa
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n}
= \tfrac{1}{2}\left(x_n + \tfrac{2}{x_n}\right),
\]
che coincide con il metodo di Erone illustrato in Didattica della radice di 2.
Con punto iniziale \(x_0=1\):
| \(n\) | \(x_n\) | Errore \(|x_n-\sqrt{2}|\) |
|---|---|---|
| 0 | 1.0000 | 0.4142… |
| 1 | 1.5000 | 0.0858… |
| 2 | 1.4167 | 0.0025… |
| 3 | 1.4142 | 0.000002… |
Il comportamento del metodo dipende solo dal segno del punto iniziale:
- se \(x_0>0\), la successione converge a \(+\sqrt{2}\);
- se \(x_0<0\), converge a \(-\sqrt{2}\).
In entrambi i casi:
- non importa quanto lontano si parta: la successione tende comunque verso la radice del semiasse da cui si è iniziato;
- la procedura è autocorrettiva: anche in presenza di errori di calcolo intermedi, la dinamica riporta l’orbita descritta verso la radice corrispondente.
La formula di Newton agisce così come una sorta di forza a distanza (un tema caro a Newton), che inevitabilmente conduce verso le due radici, veri e propri attrattori del processo.
Esempio 2 – Intersezione con una retta: \( x^3 - x = 1 \)
Equazione: \( f(x)=x^3-x-1=0 \), con \( f'(x)=3x^2-1 \). Avviamo da \( x_0=1 \).
| n | \(x_n\) | \(f(x_n)\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | −1 |
| 1 | 1.5 | +0.875 |
| 2 | 1.3478 | +0.1007 |
| 3 | 1.3252 | +0.0021 |
| 4 | 1.3247 | ≈0 |
Otteniamo la soluzione reale \( x \approx 1.3247 \), nota come radice plastica perché, analogamente al rapporto aureo nei problemi piani, essa compare in proporzioni geometriche tridimensionali e fu adottata da Hans van der Laan come principio estetico per l’architettura.
Quando il metodo di Newton non funziona
Il metodo di Newton non converge sempre. Per esempio, se:
il diagramma sarà quello riportato in figura, ovvero il metodo di Newton non converge: l’iterazione oscilla tra \(x_1\) e \(x_2\) senza avvicinarsi a \(r\).
Se si comincia con \(x_1=r-h\), si ottiene \(x_2=r+h\), e le approssimazioni successive oscillano tra questi due valori.
Qualunque sia la lunghezza dell’iterazione, non ci si avvicina alla radice \(r\) più di quanto fosse consentito dalla prima congettura.
La fortuna del metodo di Newton
Il metodo, apparentemente semplice, ha conosciuto a partire dagli anni Settanta del secolo scorso, una fortuna mai avuta in passato grazie ai moderni strumenti di calcolo e, in particolare, alla potenza della computer graphics. Ciò che per secoli era stato soltanto un algoritmo numerico, è diventato un vero e proprio laboratorio di immagini: i bacini di attrazione, i confini frattali, le dinamiche iterative hanno preso forma visibile, trasformando il metodo in una narrazione geometrica fatta di colori e strutture inattese.
Peitgen e Richter, in La bellezza dei frattali, scrissero:
«Esso si basa su un trucco assai ingegnoso, consistente nel trasformare il problema statico della soluzione dell’equazione
in un procedimento dinamico. A seconda delle condizioni iniziali, la ricetta di Newton si avvicinerà a una o all’altra radice come centri di un campo attrattivo di forze. Queste regioni di influenza, i cosiddetti bacini di attrazione, hanno confini straordinariamente complessi e inattesi, che rivelano tutta la ricchezza di una struttura frattale.»
Ma il motivo più profondo del successo non è soltanto tecnologico: è concettuale. Il passaggio dal campo reale al campo complesso ha rivelato tutta la potenza e la bellezza del metodo. Nel reale le orbite tendono docilmente a una radice; nel complesso, invece, le radici stesse si trasformano in centri di attrazione che organizzano il piano, e i percorsi delle iterazioni disegnano movimenti che possono apparire disordinati e imprevedibili.
Questa fusione di semplicità algoritmica e ricchezza dinamica spiega perché il metodo di Newton sia diventato un punto di riferimento non solo per il calcolo numerico, ma anche per la didattica, la ricerca e la stessa immagine moderna della matematica come scienza della complessità.
Un caso emblematico: l’esperimento di Hubbard
Efficacia del metodo di Newton e potenza della computer graphics emersero in modo esemplare in un episodio raccontato da James Gleick in Chaos: Making a New Science(1987, finalista del premio Pulitzer per la saggistica, tradotto in italiano da Rizzoli nel 1989).
John H. Hubbard, docente all’Università di Orsay, era convinto che la semplicità con cui il metodo di Newton divideva il piano in due bacini di attrazione nel caso di \(x^2-2=0\) — con \(+\sqrt{2}\) e \(-\sqrt{2}\) come attrattori — si sarebbe estesa naturalmente anche al caso dell’equazione \(x^3-1=0\).
Immaginava, quindi, che il piano complesso si potesse dividere in tre regioni ben distinte, ognuna delle quali diretta verso una delle tre radici (una reale e due complesse).
Ma non fu così: dopo tempo ed energie spese "a pensare", dovette accorgersi che la situazione era molto più intricata.
La computer graphics rivelò infatti un’immagine sorprendente: non tre semplici bacini, ma una trama finissima di confini frattali, intrecciati e imprevedibili.
Quello che appariva come un algoritmo scolastico si trasformò in un paesaggio matematico mozzafiato: un meraviglioso frattale.
Va detto che Arthur Cayley, un secolo prima, aveva già sollevato il problema ma non disponeva di quel potente alleato che aiutò Hubbard e i suoi studenti: il computer e le sue possibilità grafiche poteva disegnare i punti, tracciare i percorsi, colorarli variamente, liberare l'immagine conclusiva!
Newton nei concorsi e negli esami: il valore didattico dei metodi iterativi
Nella traccia del concorso a cattedra dell’11 gennaio 2000, uno dei quesiti chiedeva ai candidati di illustrare il metodo di Newton e di utilizzarlo per il calcolo della radice quadrata di un numero positivo \(a\).
Nonostante la semplicità apparente, quel quesito fu tra i meno svolti: segno che la padronanza dei metodi iterativi non era poi così diffusa.
Dal 2000, richieste di conoscenze e applicazioni di metodi numerici per l’approssimazione delle soluzioni sono ricorse anche nelle tracce degli esami di maturità, come ricordato nel recente articolo L’approssimazione numerica scomparsa dalla maturità.
La constatazione amara è che, malgrado l’importanza e l’attualità di idee e procedure legate a ricorsività, algoritmi iterativi e approssimazione, malgrado il metodo di Newton resti un esempio straordinario per mostrare come la matematica unisca rigore e intuizione, formule e processi dinamici — e malgrado il loro indubbio valore didattico — tutto ciò tende a scomparire dalla scuola italiana.
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