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Didattica della radice di due

Un metodo per il calcolo della radice di due che, per coloro ai quali piace, è nodo di una rete concettuale ricca di germi matetici.

Radice di 2 è un personaggio importante della matematica.

S’incontra abbastanza presto nel corso degli studi. Conoscerlo significa sapere dove sta, ossia saperne individuare la posizione sulla retta numerica. Significa, poi, anche saperlo calcolare, e significa, ancora, sapere che specie di numero è. La prima questione si presenta subito diversa, per certi versi, indipendente, dalle altre due che caratterizzano i due aspetti ricorrenti del fare matematica: l’algoritmico e il dialettico. Ad essa comunque risponde pienamente la geometria. Costruito il quadrato di lato 1, il compasso porta l’estremo della diagonale nel punto che è l’esatta posizione di √2 sulla retta graduata OA.

Trasporto evocativo di un atto magico. Un’esattezza cioè che è solo la magia della geometria a raggiungere. Tanto per dire che √2 è un numero euclideo, ovvero costruibile elementarmente, con riga e compasso e la costruibilità ne assicura l’esistenza. Ma qual è il valore di √2?

Tra i metodi per il calcolo di √2, un posto di rilievo dal punto di vista didattico spetta al metodo di Erone.

Di Erone, matematico ingegnere, vissuto intorno al primo secolo d.C. e dei suoi meriti, si è scritto più volte su queste pagine [VEDI].

Ecco il metodo di Erone: se x2 = 2, è x·x=2 , cioè x=2/x .

Supposto, dunque, che x0 > 0 sia una approssimazione della soluzione x* dell’equazione x2 = 2, anche  2/x0 lo è. Anzi, se una lo è per difetto l’altra lo è per eccesso, e viceversa. Rifletterci, è, didatticamente parlando, un bel rafforzamento e potenziamento del concetto di frazione. In ogni caso è x0 ≠ 2/x0, l’uguaglianza valendo solo quando  x0 = x*. La media aritmetica delle due approssimazioni fornisce dunque un valore x1 più vicino a x* di quanto possa esserlo x0:

x_{1}=\frac{1}{2}\left (x _{0} + \frac{2}{x_{0}}\right )

Il passo successivo è una ripetizione:

x_{2}=\frac{1}{2}\left (x _{1}+\frac{2}{x_{1}} \right )

così ancora:

x_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( x_{n}+\frac{2}{x_{n}} \right )per n = 0,1,2,……, sintetizza la procedura ricorsiva. Se x0 è un numero positivo, la successione x0 , x1 , x2, …… ( si può anche dire, arricchendo il linguaggio,  l’orbita descritta da x0 o di seme x0 ) converge a √2 con velocità quadratica. Per esempio, partendo da x0=1, una calcolatrice dà x1 = 1,5 e poi  x2 = 1,416666667, x3 = 1,414215686 che è corretto fino alla quinta cifra dopo la virgola. Convergenza quadratica significa che il numero dei decimali corretti raddoppia a ogni iterazione. Siamo di fronte ad un programma o algoritmo che si fonda solo sull’addizione e sulla divisione, richiede un solo dato in ingresso ed è facilmente eseguibile dalla macchina.

Osservazione importante:

il metodo di Erone trasforma il problema statico della soluzione dell’equazione f(x) = 0 in un procedimento dinamico. In ciò coinvolge la ricorsività che sembra riscuotere il favore dei giovani insieme ad una matematica discreta e algoritmica. «Più congeniale ai giovani di oggi» la ritenne già qualche tempo fa D. R. Hofstadter.

Quando la maturità degli studenti lo permetterà è anche importante da sapere che sullo stesso “trucco ingegnoso” si basa l’algoritmo di Newton che negli ultimi decenni ha conosciuto una notevole fortuna grazie ai frattali: xn+1  = xnf(xn)/f’ (xn )   [f’ indica la derivata].

Posto f(x) = x2a, le formule di Newton e di Erone conducono alla stessa procedura ricorsiva.

Da sottolineare: è assolutamente ininfluente la scelta del punto iniziale.

Per quanto lontano sia il punto di partenza x0, la ricetta di Newton o quella di Erone, avvicinerà ad uno dei due zeri della funzione f(x) = x2 – a. Questi finiscono per agire come centri di un campo attrattivo di forze (certamente un tema molto caro a Newton).

La questione merita di essere inquadrata storicamente e nei suoi sviluppi successivi.

Nella memoria The Newton-Fourier Imaginary Problem del 1879, lord Cayley affrontò il problema più generale, suggerendo, per la determinazione degli zeri di un polinomio di variabile reale, di considerare il problema da un punto di vista globale determinando delle «regioni del piano tali che, scelto a caso il punto P in una regione, si finisca comunque con l’arrivare al punto A (una radice di p(x) = 0 ); e scelto a caso P in un’altra regione, si pervenga infine al punto B; e così via per tutti i punti che sono radici dell’equazione». La soluzione del problema, osserva Cayley, è facile ed elegante nel caso delle equazioni quadratiche, ma già le equazioni cubiche sembrano presentare difficoltà non lievi.

A tal proposito James Gleick, nel suo libro Chaos: Making A New Science del 1987 (finalista del premio Pulitzer per la saggistica e disponibile in italiano da Rizzoli, 1989) riporta un episodio di didattica sul campo. Racconta che John H. Hubbard un po’ annoiato della trattazione tradizionale degli argomenti del suo corso di calcolo infinitesimale all’università di Orsay in  Francia, decise di apportare delle modifiche e tra queste quella di

insegnare il metodo di Newton in un modo che costringesse i suoi allievi a pensare […] Un piccolo inconveniente del metodo di Newton risiede nel fatto che le equazioni hanno di solito più di una soluzione, specialmente quando sono incluse soluzioni complesse. Quale delle soluzioni il metodo trovi dipende dalla congettura iniziale. Nella pratica, gli studenti non vedono in questo fatto un problema. In generale si ha una buona idea di dove partire, e se la congettura scelta sembra convergere verso la soluzione sbagliata si comincia a cercare da qualche altra parte. Ci si potrebbe chiedere esattamente quale tipo di via il metodo di Newton tracci mentre procede verso una radice di un polinomio di secondo grado sul piano complesso. Si potrebbe rispondere, pensando geometricamente, che il metodo cerca di accertare quale delle due radici sia quella più vicina alla congettura iniziale. Questo è ciò che Hubbard disse ai suoi studenti a Orsay quando, un giorno, si pose questo problema. Ora, per equazioni, diciamo di terzo grado, ad esempio x3 – 1 = 0, la situazione sembra più complicata, disse Hubbard con aria fiduciosa. Ci penserò e ve ne parlerò la prossima settimana.James Gleick, Caos, Rizzoli, 1989

Fu così che Hubbard scoprì che il problema non era affatto semplice e che la ovvia congettura iniziale di dividere il piano in tre regioni, ciascuna con al suo interno una delle radici, non funzionava perchè «in prossimità dei confini accadevano cose strane».

Fu così ancora che egli scoprì di non essere il primo ad affrontare il problema ma che a differenza di Arthur Cayley, egli, un secolo dopo disponeva di un formidabile strumento: il computer e le sue possibilità grafiche. Poteva disegnare i punti, analizzare i percorsi, colorarli variamente. Ed «era come se il metodo di Newton fosse un sistema dinamico e le tre soluzioni fossero tre attrattori. Oppure era come se il piano complesso fosse una superficie liscia che declinava verso tre valli profonde. Una biglia che cominciasse a muoversi da un punto qualsiasi del piano rotolerebbe in una delle valli, ma in quale?»

Per l’equazione cubica “più semplice”: x3 – 1 = 0,

le sue radici, ovvero le radici terze di 1, sono date dalla formula: cos2kπ/3 + isen2kπ/3 con k=0,1,2. Geometricamente x0 , x1, x2  sono i vertici di un triangolo equilatero.

La soluzione ovvia sarebbe dunque quella di considerare le tre semirette uscenti dall’origine (ciascuna ruotata di 120° rispetto all’altra) come separatrici dei tre bacini di attrazione per analogia della retta x = 0 che per la funzione f(x) = x2 – 2 divide i bacini di attrazione di +√2 e -√2 . Ma le cose non stanno affatto così: i bacini di attrazione delle tre radici si compenetrano in un modo del tutto inaspettato. Ciò che Hubbard ottenne fu un meraviglioso frattale.

Nella figura a lato l’asse y divide il piano in due bacini di attrazione: a destra l’attrattore è +√2 a sinistra -√2.

Didatticamente possono rivelarsi significative due osservazioni. La prima è che la procedura risulta autocorrettiva nel senso che eventuali errori di calcolo non cambiano il risultato finale. Scelto il punto  iniziale x0 la legge ricorsiva alla quale è sottoposto funziona come una forza a distanza;  x0 è come un foglio di carta che si libra nell’aria: nel suo percorso può anche essere deviato, ma non sfugge al  destino di cadere a terra.

La seconda osservazione è che l’orbita di x0 può essere evidenziata tracciando, per il significato della formula di Newton, i successivi pezzi delle tangenti al grafico di f(x) nei punti xi. L’orbita è cioè la spezzata di estremi (x0, f(x0)), (x1, 0), (x1, f(x1)), (x2, 0), (x2, f(x2)), ……

Per concludere rimane da dare una risposta alla terza questione.

L’equazione  x2 – 2 = 0  rivela chiaramente che √2 non è un intero e non è neppure una frazione irriducibile p/q. Se lo fosse allora p dovrebbe dividere 2 e q dovrebbe dividere 1 ovvero √2 dovrebbe essere uno degli  interi -1, +1, -2, +2. Cosa che non è: se ne conclude che √2 non è un numero razionale. Questa fu la scoperta dei pitagorici ottenuta però con un ragionamento diverso che rivela quanto algoritmico e dialettico fossero indistinguibili alla radice e quanto il metodo storico genetico sia utile alla formazione dei concetti. Converrà allora porsi in una situazione d’origine: sarà l’argomento di un prossimo intervento sulla didattica di radice di due.

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