Bacini di attrazione e cammini descritti dai naturali nell’universo gravitazionale delle leggi ricorsive.
Oltre le somme dei quadrati: la funzione “somma i cubi delle cifre”
Frattale
Sia n = 13 il dato in ingresso. La “macchina” – equivalente didattico del concetto di funzione – opera addizionando i cubi delle cifre: 13 e 33 . Il numero in ingresso viene trasformato. La macchina manda 13 in 28. La procedura ricorsiva consiste nel reintrodurre in ingresso 28. E continuare. L’orbita descritta da 13 è:
13→28→ 520→ 133→ 55→ 250→133→ 55→ 250→….
Se il numero iniziale, o seme, è 2, le successive re-immissioni in macchina segnano la traiettoria :
2→8→512→ 134→ 92→ 737→ 713→371→ 371→371→…
Le orbite di seme 3 e 4 sono le seguenti:
3→ 27→ 351→ 153→ 153→………
4→ 64→ 280→ 520→133→ 55→ 250→……..
In tutti i casi il processo ricorsivo si stabilizza dopo un certo numero di iterazioni. Il processo ricorsivo ha precisi attrattori:
1, 153, 370, 371 sono quattro traguardi speciali. Attraggono le traiettorie di infiniti numeri. Altri infiniti numeri terminano la loro corsa nei due cicli
Si può tentare di dare del risultato una dimostrazione dialettica. A tal fine può fare da guida l’impostazione già seguita per le somme delle cifre dei quadrati.
Un programma, però, realizzato da Biagio Beatrice consente di verificare il risultato in un numero grande quanto si vuole di casi ed immaginare anche una “mappa” dei cammini dei numeri che si muovono nell’universo gravitazionale determinato dalla legge “somma le cifre dei cubi”. Il programma di B. Beatrice si rivela comunque maggiormente utile quando si vuole investigare ciò che succede oltre i cubi. E congetturare, ad esempio, ciò che avviene per le quarte potenze o le potenze k-esime.
Somma le quarte potenze delle cifre di un numero
Utlizzare il programma informatico è come lanciare nello spazio (dei numeri) un seme e seguirne la traiettoria per vedere dove tende. La sperimentazione rivela che le orbite diventano più lunghe prima di stabilizzarsi. I seguenti sono i cammini di 2 e 3:
2→16→ 1297 → 8979 → 19619 → 14420→ 529 → 7202→ 2433 → 434 → 593→ 7267→6114 → 1554 →1507 → 3027 → 2498 →10929 →13139 → 6725→ 4338 → 4514 → 1138 → 4179→ 9219 →13139→ ….
3→ 81 → 4097 → 9218 →10674 → 3954 → 7523 →3123 -→ 179 → 8963 → 12034→ 354→ 962→7873 →8979 → 19619 → 14420 → 529 → 7202→ 2433 → 434→ 593→7267 → 6114 → 1554 → 1507→ 3027 →2498 → 10929→ 13139 →6725 → 4338 → 4514 → 1138 → 4179→ 9219 → 13139 →….
Le orbite relative a 17 e 66 si stabilizzano abbastanza presto:
17 →2402→ 288→8208 → 8208 →…….
66→ 2592→ 7218 → 6514 →2178 → 6514 → ….
Quale risultato si può trarre dall’attività numerica? Una sistemazione dei dati ottenuti è la seguente.
Le orbite tendono alle seguenti mete:
- gli attrattori: 1, 1634, 8208, 9474
- il ciclo costituito dalla coppia: 2178, 6514
- il ciclo di ordine sette: 13139, 6725, 4338, 4514, 1138, 4179, 9219.
Perché succede tutto ciò? C’è una spiegazione completa? La risposta ovviamente è nella stessa matematica. Un’attività della mente sempre tesa a penetrarne l’essenza e a comprendere il perchè essa sia così efficace nella descrizione dell’Universo.
In questo caso, perché gli attrattori sono quelli e non altri? E perché vi ritroviamo il 153 che è il numero dei pesci nella rete della pesca miracolosa raccontata nel Vangelo. Sì, 1, 153, 370, 371 sono “punti uniti” per la funzione “somma i cubi delle cifre” così come 1, 1634, 8208, 9474 lo sono per la funzione “somma le quarte potenze delle cifre”. Ma è solo questo?
Considerazioni didattiche
La ricorsività – è stato scritto – si presenta molto congeniale ai giovani di oggi che amano muoversi, agire e pensare in modo ricorsivo. L’attività, sommariamente descritta, ha vari vantaggi. Si presta, con pochi prerequisiti, al potenziamento delle abilità di calcolo e al rafforzamento concettuale delle operazioni matematiche. Porta a lavorare con addizioni, potenze e loro proprietà. Commutatività, permutazioni e ordine di grandezza. Argomenti e immagini di funzioni, punti uniti, orbite e cicli. Conduce a riflettere e a sistemare risultati per comunicarli in modo chiaro. Sviluppa la capacità di lavoro in autonomia e di “fare” matematica nella direzione che si vuole. Eventualmente proseguendo sulla via della formalizzazione o dell’analisi di altre funzioni. ad esempio: “somma i divisori di n” [si veda PdM 3/1991]
Avvertenze all’uso del programma.
Il programma è del tipo .exe. Biagio Beatrice ne fornisce l’autorizzazione e la licenza d’uso gratuito. Per essere avviato necessita di Java. Scarica il programma.
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