Il declino dell’insegnamento della matematica in Italia: il caso dell’integrale definito ridotto al solo calcolo delle aree
Un tempo, in Italia, si auspicava che il dibattito educativo prestasse attenzione non solo all’insegnamento, ma anche all’apprendimento. In poco più di vent’anni, questo auspicio si è trasformato in un nuovo squilibrio: oggi l’attenzione si concentra quasi esclusivamente sull’apprendimento — o meglio, sui dati che pretendono di misurarlo.
Il risultato? Il dibattito educativo è pressoché scomparso, e con esso anche l’attenzione all’insegnamento, a cosa e come s’insegna. Basta guardare al clima e alle procedure che dominano lo svolgimento dei concorsi a cattedre, alle modalità del conseguimento dei crediti universitari o al dibattito sulle Nuove Indicazioni Nazionali, ridotto a una mera lotta tra due gruppi di esperti in cui l’uno pensa di saperne più dell’altro. A soffrirne maggiormente è, inevitabilmente, l’insegnamento della matematica: da sempre luogo di aspirazioni al miglioramento e oggi privo di stimoli a fare meglio, a livello collettivo, ambientale, istituzionale.
Una povertà culturale e pedagogica diffusa
Un caso emblematico di questa deriva è rappresentato dai Quadri di riferimento per le prove scritte dell’Esame di Stato del 2018. La loro influenza sulla didattica, in appena sette anni, si è rivelata devastante, anche se molti docenti non sanno neppure il motivo della loro esistenza e in che rapporto si pongono con le Indicazioni Nazionali. D’altronde, per la matematica del liceo scientifico, se le Indicazioni Nazionali risultano carenti e scritte male, i Quadri di riferimento lo sono in modo ancor più grave, con scelte decisamente inappropriate e incolte.
L’integrale definito è un esempio di questa regressione didattica
Un esempio eloquente è il trattamento dell’integrale definito. Le Indicazioni Nazionali prevedono esplicitamente il suo utilizzo per il calcolo di aree, volumi e applicazioni in contesti significativi, anche fisici. Il Quadro di riferimento per la matematica, invece, al punto 23 dei 27 argomenti elencati, si limita a richiedere:
“Interpretare geometricamente l’integrale definito e applicarlo al calcolo di aree.”
Una prescrizione non solo scritta male e pensata peggio, ma anche tale da togliere valore pedagogico all‘interpretare geometricamente. Nessun accenno ad altri usi — come il calcolo di volumi, energia, probabilità continua o altre misure — che storicamente hanno arricchito il significato concettuale dell’integrale testimoniandone la forza formativa.
Le prove d’esame ministeriali della maturità post-pandemia hanno confermato questa restrizione: nessun quesito proposto in questi anni ha mai richiesto l’uso dell’integrale per il calcolo di volumi o per applicazioni diverse dal semplice calcolo dell’area piana.
Un danno profondo al significato del concetto e alla didattica
Questa limitazione ha effetti rovinosi. La prova scritta di maturità ha sempre rappresentato il riferimento primario per i docenti nella progettazione dei percorsi didattici. Ridurre le applicazioni dell’integrale definito al solo calcolo delle aree significa compromettere la comprensione concettuale dello strumento, ridurne la portata geometrica e analitica, oscurarne i significati più profondi.
Si perde, così, la capacità di “vedere” la matematica: di concepire, ad esempio, un volume come l’insieme di strati sovrapposti (a cipolla), come un solido ( un salame) affettato e ricomposto — un’immagine potente, concreta, intuitiva.
Il volume di rotazione: da quesito standard a “oltre il quadro”
Consideriamo un esercizio che un tempo sarebbe stato perfettamente proponibile, ma che oggi ricadrebbe “oltre il Quadro”:
Sia R la regione delimitata, per x ∈ [0, π], dalla curva y = sen x e dall’asse x. Si consideri il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Calcolare il volume del solido.
Questo tipo di quesito apparteneva a un progetto di innovazione didattica nato con la riforma della prova d’esame di maturità del 2001, che puntava, tra l’altro, a “migliorare l’insegnamento” ed è stato mantenuto fino al 2015.
Veniamo, quindi, al calcolo del volume VW del solido W descritto dalla rotazione, intorno all’asse y, della regione R del semipiano y>0 sotto l’arco di sinusoide tra 0 e π.
Se la rotazione richiesta fosse stata intorno all’asse x, il solido risultante si poteva pensare come l’insieme dei dischi ottenuti con tagli perpendicolari all’asse x e si poteva scrivere: avendo ognuna di quelle fette area πsen2x.
Ma così non è: la rotazione avviene attorno all’asse y.
Quindi, applicando lo stesso metodo delle fette, risulterebbe qualcosa di più complicato da risolvere, considerare la funzione inversa x=arcseny e integrare rispetto a y.
Più semplicemente, il solido risultante dalla rotazione si può pensare sfogliettato; ovvero si può vedere composto come lo è una cipolla: di più strati sovrapposti. Ogni strato è un cilindro di raggio di base x e altezza senx. Ognuno di questi strati o gusci cilindrici, di spessore infinitesimo, ha area laterale (2πx)senx. Il volume richiesto è dunque ovvero, risolvendo per parti, 2π2.
Conclusione: è stato distrutto quanto di buono era stato fatto
La situazione attuale porta a perdere di vista concetti fondamentali, come il fatto che la derivata del volume V(x) di una sfera di raggio x è la sua superficie.
Anche questo è un modo di “interpretare geometricamente” — e profondamente — un concetto. Si tratta di intuizioni che legano in modo profondo il calcolo e la geometria, l’analisi e la visione. Ma, più che altro, si tratta di constatare un ritorno indietro: passi avanti compiuti nella didattica della matematica sono stati smantellati; la prova d’esame è stata ridotta, impoverita, e con essa l’insegnamento ha perso ampiezza, profondità e capacità formativa. Aspetti centrali per una comprensione concettuale completa stanno ormai scomparendo dall’orizzonte educativo. È tempo di riaprire il dibattito.
I docenti con Matmedia possono cercare di mantenere viva la fiamma dell’aspirazione al miglioramento dell’insegnamento della Matematica, ma è anche fondamentale che il Ministero riacquisti la competenza smarrita, sappia guidare e non confondere.
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