Dalla figura statica alla costruzione dinamica del luogo geometrico: un quesito del 1974 per fare matematica a tutto tondo.
I sei quesiti della gara matematica Mathesis del 1974 si prestano tutti a essere ripresi e sviluppati nell’attività didattica. Lo ha già mostrato Adriana Lanza con il suo commento e la sua soluzione del quesito 4, ai quali si sono aggiunte le originali considerazioni di Sergio Casiraghi in Quando le cifre incontrano se stesse. Particolarmente ricco appare anche il quesito 1.
Il problema non chiede soltanto di eseguire una costruzione geometrica: muove dall’equivalenza tra rettangoli, conduce alla determinazione di un punto e, facendo variare uno dei dati, trasforma la costruzione in un problema di luogo geometrico. Il passaggio decisivo è proprio questo: dalla figura statica al movimento del punto , fino al riconoscimento dell’iperbole.
In poche righe, il quesito mette così in relazione l’area e la proporzionalità inversa, la costruzione geometrica, la variazione di una grandezza, il luogo geometrico e la rappresentazione di una funzione.
È, per molti aspetti, un quesito sorprendentemente moderno. Oggi potrebbe essere riproposto efficacemente con un software didattico, chiedendo agli studenti dapprima di formulare una congettura sulla traiettoria di e poi di dimostrarla analiticamente. È forse il problema che meglio esprime l’idea di una geometria dinamica: una geometria nella quale le proprietà delle figure emergono proprio nell’atto del loro modificarsi.
Il problema
\(\)Dato il rettangolo \(OAQB\), determinare graficamente il rettangolo di uguale area avente per base \(OC\), ossia avente un vertice \(P\) sulla verticale condotta per \(C\).
Ripetendo tale costruzione e variando il punto \(C\), come si sposta il punto \(P\)? Come si chiama la curva che si ottiene in questo modo?
La soluzione
Indichiamo con
\[
OA=a,\qquad OB=b,\qquad OC=x,
\]
con \(x>0\), poiché il punto \(C\) deve essere distinto da \(O\). L’area del rettangolo dato \(OAQB\) è
\[
OA\cdot OB=ab.
\]
Il rettangolo avente per base \(OC\) e vertice opposto \(P\) deve avere la stessa area. Se indichiamo con \(CP=y\) la sua altezza, deve dunque risultare
\[
OC\cdot CP=OA\cdot OB,
\]
ossia
\[
xy=ab.
\]
Da questa relazione si ricava
\[
\boxed{y=\frac{ab}{x}}.
\]
La costruzione grafica
La costruzione del punto \(P\) può essere eseguita nel modo seguente:
- si congiunge il vertice \(B\) con il punto \(C\);
- per il vertice \(Q\) si conduce la parallela alla retta \(BC\);
- per \(C\) si traccia la perpendicolare alla base \(OC\);
- l’intersezione fra quest’ultima retta e la parallela condotta per \(Q\) individua il punto \(P\).
Verifichiamo che il rettangolo così costruito abbia effettivamente la stessa area di \(OAQB\). Introduciamo un sistema di coordinate cartesiane con origine in \(O\) e poniamo
\[
O=(0,0),\qquad A=(a,0),\qquad B=(0,b),\qquad
Q=(a,b),\qquad C=(x,0).
\]
La retta \(BC\) ha coefficiente angolare
\[
m_{BC}=-\frac{b}{x}.
\]
La retta parallela a \(BC\) e passante per \(Q\) ha pertanto equazione
\[
Y-b=-\frac{b}{x}(X-a).
\]
Il punto \(P\) appartiene alla verticale condotta per \(C\); la sua ascissa è quindi \(X=x\). Sostituendo questo valore nell’equazione precedente, otteniamo
\[
\begin{aligned}
y-b
&= -\frac{b}{x}(x-a) \\
&= \frac{b(a-x)}{x}.
\end{aligned}
\]
Ne segue che
\[
\begin{aligned}
y
&= b+\frac{b(a-x)}{x} \\
&= \frac{bx+b(a-x)}{x} \\
&= \frac{ab}{x}.
\end{aligned}
\]
Pertanto
\[
\begin{aligned}
OC\cdot CP
&= x\cdot\frac{ab}{x} \\
&= ab \\
&= OA\cdot OB.
\end{aligned}
\]
Il rettangolo avente per base \(OC\) e per altezza \(CP\) ha dunque la stessa area del rettangolo originario.
Il luogo geometrico del punto \(P\)
Al variare di \(C\) sulla semiretta positiva uscente da \(O\), le coordinate di \(P\) soddisfano sempre l’equazione
\[
xy=ab,
\]
equivalente a
\[
\boxed{y=\frac{ab}{x}}.
\]
Il punto \(P\) descrive pertanto il ramo situato nel primo quadrante di un’iperbole equilatera, avente gli assi coordinati come asintoti.
In particolare:
- se \(C\) coincide con \(A\), allora \(P\) coincide con \(Q\);
- quando \(C\) si avvicina a \(O\), l’altezza \(CP\) cresce indefinitamente;
- quando \(C\) si allontana da \(O\), il punto \(P\) si avvicina progressivamente all’asse delle ascisse.
Il problema conduce così, attraverso una costruzione puramente geometrica, alla rappresentazione della funzione di proporzionalità inversa
\[
\boxed{y=\frac{k}{x}},\qquad k=ab.
\]
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