Matematica 2025. Il Problema 1: la frase di Cartesio esibita in apertura e la soluzione di Elisabetta Lorenzetti
Il testo integrale del Problema 1 proposto nella seconda prova scritta di matematica del Liceo Scientifico – sessione ordinaria 2025 è il seguente:
Problema 1
«La ragione non è nulla senza l’immaginazione» – Cartesio
Dati \( r > 0 \) e \( k < 0 \), si considerino la circonferenza \( C_r \), di centro l’origine e raggio \( r \), e la funzione:
\[ f_k(x) = k|x| \]
a)
- Verificare che \( f_k \) è continua ma non derivabile in \( x = 0 \) qualunque sia il valore di \( k \).
- Individuare i due valori di \( r \) in corrispondenza dei quali \( C_r \) delimita con il grafico di \( f_k \), per opportuni valori di \( k \), un settore circolare nel semipiano \( y \leq 0 \) di area \( \pi \) e contorno di lunghezza \( 4 + \pi \).
- Stabilito che \( r = 2 \) è il maggiore di tali valori, in uno stesso riferimento cartesiano \( Oxy \), tracciare la circonferenza \( C_2 \) e il grafico della funzione \( f_{-1} \).
b)
Studiare la funzione:
\[ g(x) = \sqrt{4 - x^2} \]
- Specificare dominio, simmetrie, punti di non derivabilità, intervalli di monotonia e insieme immagine.
- Verificare che il grafico di \( g \) coincide con la parte di \( C_2 \) che si trova nel semipiano \( y \geq 0 \).
- Spiegare perché \( g \) non è invertibile nel suo dominio ed esplicitare l’intervallo \( [a; b] \), di ampiezza massima con \( b > 0 \), nel quale \( g \) ammette una funzione inversa \( h \).
- Qual è l’espressione analitica di \( h \)?
c)
Sia \( A \) un punto del grafico di \( g \), situato nel I quadrante, e siano \( M \) e \( R \) le sue proiezioni ortogonali sugli assi del riferimento.
- Determinare le coordinate di \( A \) in modo che il quadrilatero \( AMOR \) abbia area massima.
- Dopo aver verificato che tale quadrilatero è un quadrato, dimostrare che è anche quello di perimetro massimo.
d)
Si consideri la funzione:
\[ F(x) = \int_{-2}^{x} \sqrt{4 - t^2} \, dt, \quad x \in [-2; 2] \]
- Determinare \( F(2) \) e tracciare un grafico di \( F \), dopo averne studiato monotonia e concavità.
- Scrivere, inoltre, l’equazione della retta tangente al grafico di \( F \) nel suo punto di flesso.
Cartesio visto da B.Scognamiglio
Come si legge, punto d'avvio della traccia è una citazione a effetto — «La ragione non è nulla senza l’immaginazione» — attribuita a Cartesio. Tuttavia, si tratta di un’introduzione retorica per niente aderente al contenuto matematico del problema, che non fornisce alcun contributo alla sua risoluzione e che ha generato non poca confusione tra i candidati. Alcuni docenti hanno sentito la necessità di chiarire in aula che quella frase iniziale non aveva alcuna rilevanza matematica e poteva essere tranquillamente ignorata. Su quella frase - frutto di "puro esibizionismo", ha osservato un "vecchio" professore - vale la pena di riportare quanto ha scritto Biagio Scognamiglio:
«Quella frase italiana sarebbe stata in francese “La raison n’est rien sans l’imagination” e in latino “Ratio est nihil sine imaginatione”. A prima vista sembra davvero strano che un razionalista come Cartesio abbia attribuito all’immaginazione la capacità di annichilire la ragione. Per superare questa aporia, rifletteremo sui significati di imaginatio e intellectio come ricorrono nel sesto libro delle Meditationes cartesiane dedicato all’argomento De rerum materialium existentia et reali mentis a corpore distinctione. ...».
C'è da osservare che tra i due problemi proposti, superata la difficoltò del punto a), è stato il più affrontato dagli studenti.
COMMENTS