Un artificio algebrico che funziona

Didattica della matematica. La formula risolutiva dell’equazione di secondo grado ottenuta con il metodo di Eulero.

L’artificio “che funziona” è la sostituzione x=u+v utilizzata dagli algebristi del Cinquecento per risolvere le equazioni di terzo grado e di grado più elevato. È su tale artificio, con l’aggiunta di un’altra certa dose di virtuosismo algebrico, che si basa anche il metodo di Eulero che consiste poi nell’identificare le due equazioni di uguale grado che si ottengono dalla sostituzione. L’esempio che segue è l’applicazione del metodo di Eulero all’equazione completa di secondo grado (a,b,c≠0):

ax²+bx + c = 0   (1)

Se si pone x = u + v, si ha anche che v = x – u  e, elevando al quadrato:

x²= u²+2uv+ v² = u (u + 2v) + v²

che tenendo conto di 2v=2(x – u) si può scrivere: x² = u (u + 2x – 2u) + v²  ovvero:

x² – 2ux + u²– v² = 0 , cioè

ax² -2aux + a(u²– v²) = 0     (2)

Dalla identificazione di (1) con (2) segue che:

u = -b/2a  e  u²-v² = c/a

il che porta a:

cioè la formula risolutiva dell’equazione (1) ottenuta seguendo una via diversa, insolita. Diversa da quella che abitualmente s’insegna nel primo biennio della scuola secondaria di secondo grado e che consiste nel trasformare la (1), moltiplicandola per 4a e aggiungendo ad ambo i membri b², nel quadrato di un binomio

(2ax + b)²= b² – 4ac

Gerolamo Cardano (1501-1576)

In sostanza un modo di operare che riduce la (1) ad un’equazione quadratica binomia nell’incognita 2ax+ b; un modo, detto del completamento del quadrato, che è il più antico procedimento risolutivo algebrico di cui si abbia notizia certa. È presumibile, infatti, che fosse noto già a Erone e Diofanto anche se, esplicitamente,  compare solo nelle opere di Brahmagupta (sec. VII) e poi di Bhaskara (sec XII).

Il metodo di Eulero ha un suo fascino e una più ampia generalità, ma il metodo del completamento del quadrato è più antico e più immediato il che ne giustifica il successo didattico di cui ancora gode. La maggior parte dei libri di testo, in tutto il mondo, insegnano, infatti, a ricavare la formula risolutiva con il metodo del completamento del quadrato. In ogni caso possedere più vie per giungere allo stesso risultato è una ricchezza alla quale il docente non deve rinunciare. Didatticamente parlando una via alternativa è sempre un asso nella manica da giocare quando se ne presenta l’opportunità. E, per chi fa e insegna la matematica, l’artificio della sostituzione x = u+v vale la pena di conoscerlo nei suoi effetti e nella sua storia.