La matematica che cresce e l’evoluzione dei suoi oggetti: il caso dell’integrale da Archimede a Riemann a Lebesgue. In che senso esiste una storia della matematica?
Si dice che una delle caratteristiche della matematica sia quella di risultare interamente cumulativa. Nulla, infatti, essa sconfessa mai delle proprie conquiste. Ciò che è stato riconosciuto vero continua ad esserlo: per sempre. In eterno!
I risultati si aggiungono ai risultati, in un processo che è decisamente accrescitivo. La matematica sembrerebbe così assimilabile a un grosso “sacco” che progressivamente si riempie, crescendo di volume e anche “di peso” — ammesso che il sapere abbia il suo peso.
Si potrebbe allora descrivere la storia della matematica come una successione di questi “sacchi” di saperi crescenti, ordinati cronologicamente e associati ciascuno alla testa del matematico più rappresentativo del tempo: Euclide, Archimede, Fermat, Newton, Gauss, Riemann, Poincaré, Hilbert... .
È una descrizione sorprendentemente realistica, che porta — tra l’altro — a chiedersi: quanta matematica può stare nella mente di un individuo? Poincaré e Hilbert sono universalmente riconosciuti come gli ultimi geni universali della matematica; dopo di loro, questo non è più accaduto. Eppure, in quel sacco, come nelle loro teste, i contenuti subiscono trasformazioni analoghe a quelle del cibo nel ventre di un organismo vivente: si scompongono, si combinano, si rinnovano. La matematica cresce proprio così — digerendo se stessa.
In effetti, quanto detto equivale anche ad affermare che gli oggetti della matematica, che riempiono quei “sacchi”, non sono sempre gli stessi: sono sottomessi alla storia, che è proprio la loro evoluzione a raccontare.
Più semplicemente, valga l’interrogativo: il cerchio o la parabola di cui tratta Blaise Pascal nelle Coniche sono lo stesso cerchio e la stessa parabola di Archimede o di Apollonio?
Sì, se li guardiamo come figure sensibili sono identici, ma nel linguaggio della matematica cambiano natura, diventano altri oggetti.
Le coniche degli antichi erano essenzialmente metriche: si definivano attraverso proprietà di lunghezze e angoli. Con Staudt e Chasles, le stesse coniche diventano proiettive, cioè indipendenti da misura e distanza, fondate su relazioni di incidenza e corrispondenza. È un cambiamento che non smentisce le verità precedenti, ma le ricontestualizza all’interno di un linguaggio più ampio.
In altri termini, per i geometri del XIX secolo la definizione proiettiva delle coniche evidenzia le loro diverse figure come modalità di un unico essere matematico, indistinguibili nel piano proiettivo e distinguibili solo attraverso la scelta di una retta arbitraria come “retta all’infinito” e quella di una metrica.
Un destino analogo ha conosciuto un altro grande oggetto della matematica: l’integrale. La sua storia è, in fondo, la storia stessa del modo in cui la matematica misura, rappresenta e pensa il continuo.
L’integrale nasce come problema di misura.
Per Archimede, il problema consiste nel determinare l’area di una figura curva — come il segmento parabolico — attraverso un procedimento che oggi chiameremmo “discretizzazione”.
Il metodo di esaustione consiste nel riempire la figura con un numero crescente di figure note (triangoli o poligoni) fino a “esaurire” la differenza tra la figura curvilinea e la somma delle figure rettilinee.
È un’idea profondamente geometrica, dove l’infinito non è un ente ma un processo: la ricerca del limite cui tende una sequenza di approssimazioni.
Archimede calcola così l’area del segmento parabolico e dimostra che essa è uguale ai due terzi dell’area del parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza: una relazione che anticipa la struttura concettuale del calcolo integrale.
In questo senso, Archimede è il vero precursore dell’analisi infinitesimale: egli pensa in termini di somma di infiniti contributi infinitamente piccoli, ma senza disporre del linguaggio algebrico e simbolico che nascerà più tardi.
Con Newton e Leibniz l’integrale entra in una nuova dimensione: diventa un operatore analitico.
Le grandezze geometriche sono sostituite da funzioni e da coordinate, e l’area sotto una curva diventa la somma di infiniti rettangolini di base \( dx \) e altezza \( f(x) \).
Nasce così il simbolo:
\[
\int
\]
che rappresenta l’idea di somma continua (summa longa, nella terminologia leibniziana).
Il teorema fondamentale del calcolo mostra che l’integrazione è l’operazione inversa della derivazione:
\[
\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)\,dt\right) = f(x)
\]
In questa relazione si manifesta una nuova unità del pensiero matematico, in cui le grandezze variabili vengono trattate analiticamente e non più geometricamente.
Ma l’infinitesimo resta un concetto ambiguo: Newton lo definisce come “quantità evanescente”, Leibniz come “quantità più piccola di ogni numero dato ma non nulla”. L’integrale del Seicento è dunque potente ma concettualmente fragile: poggia su intuizioni più che su definizioni rigorose.
Il “sacco” allora non è solo un contenitore che si riempie: funziona piuttosto come uno stomaco che, ricevendo il cibo, lo trasforma. Ciò che entra ne esce diverso: le figure a contorno curvilineo e la loro area, il concetto di funzione e di curva, di misura, i simboli, tutto si trasforma.
Il termine integrale e il simbolo che lo rappresenta compare per la prima volta in un manoscritto di Leibniz del 29 ottobre 1675.
Questa data segna una discontinuità, tutto ciò che è antecedente — da Archimede a Cavalieri — sembra confluire in una forma nuova, tanto radicale da presentare l’integrale come un concetto moderno, nato così, senza storia.
Lo sviluppo della nozione moderna di integrale, come scrive Bourbaki, parte da qui e da come la riprende Johann Bernoulli e la sistema Eulero presentando il calculus integralis come complemento del calculus differentialis.
Per molti, Bourbaki in testa, l’integrale rappresenta allora proprio l’inizio della matematica moderna: un’idea che nasce dalla tradizione ma, nello stesso istante, la oltrepassa e la cancella. Un altro modo questo per riflettere in che senso si può parlare di una "storia della matematica".
Nel XIX secolo, con Cauchy e Riemann, l’integrale si ricostruisce su basi aritmetiche e logiche.
L’infinitesimo viene sostituito dal limite, e il processo di integrazione è descritto come il limite di somme finite:
\[
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_i f(x_i)\,\Delta x_i
\]
Il concetto di integrale viene così liberato da ogni residuo intuitivo: esso non dipende più da figure geometriche o da considerazioni fisiche, ma solo da una costruzione numerica. L’integrale diventa un processo di limite, fondato su quantità finite e rigorosamente definite.
Tuttavia, il modello di Riemann incontra dei limiti: non tutte le funzioni integrabili dal punto di vista fisico (come nel calcolo delle aree o delle probabilità) lo sono in senso riemanniano. Era necessario un passo ulteriore.
È con Lebesgue (1902) che nasce una nuova definizione d’integrale, capace di comprendere e superare quella di Riemann.
L’integrale di Lebesgue può essere visto in due modi: come un funzionale lineare sull’insieme delle funzioni limitate e, al tempo stesso, come un processo costruttivo che rinnova l’intuizione della quadratura.
Alla partizione verticale dell’intervallo d’integrazione, tipica di Riemann, Lebesgue sostituisce un “taglio orizzontale”, dividendo l’insieme dei valori della funzione. L’integrazione diventa allora una somma ponderata: misura per misura, livello per livello, dei punti in cui la funzione assume un dato valore.
La condizione d’integrabilità — di cui quelle di Riemann appaiono casi particolari — è ora semplice e potente: l’insieme dei punti in cui la funzione supera un qualunque numero fissato deve essere di misura nulla.
A questo punto la prospettiva cambia radicalmente. Come osserva Bourbaki, «intorno al 1910 la maggioranza dei matematici vedeva ancora nell’integrale di Lebesgue uno strumento di alta precisione, d’uso delicato, destinato soltanto a ricerche molto sottili e astratte». Dopo il 1920, però, le cose cambiano e «i progressi realizzati dalla teoria dell’integrazione si devono soprattutto alle sue applicazioni: teoria della probabilità, teoria spettrale e analisi armonica, teoria dei gruppi».
Conclusione
Muoversi nella direzione del tempo non significa solo accumulare conoscenze. L’evoluzione del concetto d’integrale mostra in modo esemplare che la matematica non cresce per semplice accumulazione. Nella sua “storia” si possono riconoscere — come osserva Gilles-Gaston Granger — tre passaggi fondamentali:
- L’intuizione originaria si precisa in un concetto operativo, i cui requisiti diventano regole del gioco.
- I risultati di questo gioco si collegano alle loro condizioni profonde grazie alla costruzione di un nuovo concetto: la misura.
- Il sistema così fondato allarga in maniera imprevista il campo degli oggetti primitivi: per merito della teoria della misura e dell’integrale di Lebesgue, nuovi oggetti vengono definiti non più negli spazi di punti, ma in spazi funzionali.
In definitiva, benché la matematica conservi integralmente ciò che ha acquisito, il suo processo di evoluzione globale è una storia di crescita che, per un verso, assomiglia a quella di un organismo vivente — dotato di apparati molteplici che le danno corpo e anima — e, per un altro, se ne allontana profondamente. La sua organizzazione logica, concettuale e procedurale porta infatti a un continuo rimescolamento di risultati e di argomenti, fino a dissolvere il peso del riferimento cronologico.
La matematica finisce così per collocarsi in una dimensione atemporale e a-storica: quella di ciò che, per dirla con Platone, “sempre è, e non nasce né perisce”. Non v’è nulla di effimero, di transeunte o di cadùco nella matematica — eccetto l’organizzazione che essa di volta in volta si dà.
Esiste allora una storia della matematica? La storia, come ogni organismo insegna, richiama inequivocabilmente alla vita: a ciò che nasce, vive e tramonta. La matematica, invece, non ha origine né fine. E, come ha mostrato Kurt Gödel, non può averne.
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