Dai passi tardi e lenti del Petrarca alla curva di Koch di perimetro infinito e area finita. Le sorprendenti forme generate dalla ricorsività
«Solo e pensoso i più deserti campi
vo mesurando a passi tardi e lenti». (Francesco Petrarca, Rvf 35)
Questi versi riportano all’essenza del misurare, ad immaginare di star dietro al Petrarca nei suoi “deserti campi”, camminare con lui contando i passi e affidare alla loro regolarità la valutazione della distanza percorsa.
Ogni passo è un’unità, ogni unità si ripresenta identica — una delle forme più naturali di ricorsività — e la misura nasce proprio da questo susseguirsi ordinato, invariato.
È così che immaginiamo di misurare un qualunque percorso: una strada, un sentiero, un tratto di riva. Se vogliamo maggiore precisione, basta fare passi più brevi, più aderenti alle pieghe del terreno.
Il metodo resta lo stesso: lunghezza del passo × numero dei passi.
Ma che cosa accade se il percorso non è un dolce campo petrarchesco, ma una tragitto che, a ogni scala di osservazione, rivela nuovi dettagli? Che cosa accade se, ogni volta che riduciamo la lunghezza del passo, emergono nuove irregolarità da seguire — pieghe, rientranze, spigoli, svolte — che prima non si vedevano?
Fu proprio questo il problema che Benoît Mandelbrot affrontò nel celebre saggio del 1967: How Long Is the Coast of Britain?.
Il procedimento più naturale è lo stesso suggerito dai “passi tardi e lenti” del Petrarca: scegliere un’unità di misura conveniente — un segmento di lunghezza \(\delta\) — e contare quanti ne servono per seguire la linea dall’inizio alla fine.
\(\)
Se indichiamo con \(N(\delta)\), perchè funzione di \(\delta\) , il numero di segmenti necessari a coprire l’intero percorso, la lunghezza misurata a quella scala è:
\[
L(\delta) = N(\delta)\,·\delta.
\]
Per curve regolari, al diminuire di \(\delta\) la misura si affina e tende verso un valore stabile.
Ma per linee molto irregolari accade qualcosa di inatteso: riducendo \(\delta\), il numero \(N(\delta)\) cresce così in fretta che il prodotto
\[
L(\delta) = N(\delta)\,·\delta
\]
non si stabilizza, ma aumenta senza limite. La lunghezza, anziché convergere, diverge.
A differenza di una curva disegnata con mano ferma e i caratteri della geometria euclidea, la costa reale nasce dall’azione combinata — e mai del tutto prevedibile — di molte forze: onde, erosioni, fratture, depositi, crolli, mareggiate.
Questo processo incessante crea una linea che appare nuova a ogni scala: da lontano continua, da vicino frastagliata, da più vicino ancora complessa oltre ogni attesa.
È questa proliferazione di dettagli — sempre nuovi, sempre più minuti — che fa esplodere il numero \(N(\delta)\). E così, man mano che \(\delta\) si riduce, la costa “cresce”: rifiuta una lunghezza definitiva.
Per questo Mandelbrot affermò che la costa non è difficile da misurare perché è “complicata”: lo è perché possiede una struttura che si rinnova a ogni scala, proprio come un frattale, un termine che Mandelbrot introdusse solo anni dopo, nel 1975, derivandolo dal latino fractus.
Per descrivere matematicamente una linea che si arricchisce di dettagli a ogni passo, i matematici hanno costruito modelli ideali. Il più celebre è la curva che porta il nome del matematico svedese Helge von Koch (1870- 1924), interamente definita attraverso una procedura ricorsiva.
Passo 0 — Il triangolo di partenza
Si parte da un triangolo equilatero di lato \(s\), con area:
\[
A_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2.
\]
Passo 1 — Aggiungere i triangoli sporgenti
Su ciascun lato, si divide il segmento in tre parti uguali e si sostituisce la parte centrale con due lati di un triangolo equilatero esterno.
L’area aggiunta è:
\[
A_1 = \frac{1}{12}\,\sqrt{3}\,s^2.
\]
Passo 2 — Ripetere la stessa operazione
Ad ogni nuovo lato si applica lo stesso schema. Il numero dei triangolini cresce di un fattore 4, la loro area diminuisce di un fattore 9.
L’area aggiunta al secondo passo è:
\[
A_2 = \frac{4}{9}A_1.
\]
Passo n — La regola ricorsiva
In generale:
\[
A_n = \left(\frac{4}{9}\right)^{\,n-1}A_1.
\]
Una serie geometrica che converge
L’area totale della figura ricorsiva è:
\[
A = A_0 + A_1 + A_2 + A_3 + \cdots
\]
cioè:
\[
A = A_0 + A_1\left(1 + \frac{4}{9} + \left(\frac{4}{9}\right)^2 + \cdots\right).
\]
La parentesi è una serie geometrica di ragione \(\frac{4}{9}<1\).
La sua somma è:
\[
\frac{1}{1-\frac{4}{9}} = \frac{9}{5}.
\]
Si ottiene così:
\[
A = \frac{2\sqrt{3}}{5}\,s^2.
\]
Il perimetro, invece, cresce secondo:
\[
L_n = 3s\left(\frac{4}{3}\right)^n,
\]
e diverge.
La curva di Koch racchiude un’area finita ma possiede un perimetro infinito: un risultato sorprendente.
È interessante ora confrontare l’area \(A\) del fiocco di neve di Koch con quella del triangolo equilatero da cui siamo partiti.
\[
A_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2.
\]
L’area totale della figura frattale, come si è visto, è
\[
A = \frac{2\sqrt{3}}{5}s^2.
\]
Il rapporto fra le due aree è
\[
\frac{A}{A_0} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{5}s^2}{\frac{\sqrt{3}}{4}s^2}
= \frac{8}{5}.
\]
Ne risulta che l’area del fiocco di neve è poco più grande di quella del triangolo originario: precisamente, è \(1{,}6\) volte quella iniziale.
Pur crescendo indefinitamente il perimetro, l’area rimane confinata entro un valore finito, solo moderatamente maggiore di quella di partenza.
Una costruzione ricorsiva semplicissima genera dunque una figura: limitata, continua, con area finita, ma con lunghezza illimitata.
È il modello più chiaro e più elegante della geometria frattale, ed è il punto perfetto per fermarsi prima di affrontare — in un prossimo articolo — la dimensione frattale e gli invarianti di forma.
L'osservazione finale: abbiamo iniziato con un cammino misurato “a passi tardi e lenti”, concludiamo con percorsi che non si lasciano misurare allo stesso modo, con la matematica che, come la poesia, continua a incantarci.
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