Dall’operatore termiale all’equazione di Pell: una variante diofantea che genera infinite soluzioni e rivela un legame inatteso con l’equazione di Markov.
Che cosa accade se, nel celebre problema di Brocard, si sostituisce il fattoriale con il suo analogo additivo, il termiale?
Proseguendo l’indagine avviata nel precedente articolo dedicato agli operatori unari, si considera qui l’equazione
\[
n?+1=m^2,
\]
dove \(n?\) rappresenta il numero triangolare
\[
1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
\]
La sua trasformazione conduce all’equazione di Pell generalizzata
\[
X^2-8Y^2=-7,
\]
rivelando una struttura completamente diversa da quella del problema classico: non più tre sole soluzioni conosciute e un enigma ancora aperto, ma due famiglie intrecciate dalle quali è possibile generare infinite coppie di soluzioni.
Il percorso mette così in relazione numeri triangolari, equazioni diofantee e ricorrenze lineari, fino a far emergere, nella parte conclusiva, una sorprendente connessione con la variante a sei variabili dell’equazione di Markov:
\[
x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2
=
3x_1x_2x_3x_4x_5x_6.
\]
Un ulteriore esempio di come problemi apparentemente lontani possano ricondursi alla medesima struttura algebrica.
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