I carrettieri di Peano si fermano all’osteria

Giuseppe Peano: la scuola, la storia della matematica, la pedagogia e la formazione degli insegnanti.

Quando Lalla Romano era bambina, Giuseppe Peano le propose un problema «scolastico»: due carrettieri, la distanza che li separava, le rispettive velocità; in quale punto della strada si sarebbero incontrati? Lei non tentò neppure il calcolo e rimase in silenzio, «rabbiosa». Peano diede allora la propria risposta: «Alla prima osteria!». La sua risata cavernosa, ricorda Romano, canzonava la perplessità della bambina, «ma anche la serietà del problema».

La battuta non negava la matematica. Colpiva la serietà artificiosa dell’esercizio scolastico. I carrettieri non erano soltanto punti che si muovevano a velocità costante: erano uomini e avrebbero potuto fermarsi all’osteria. Prima di eseguire il calcolo previsto, Peano invitava così a interrogare il problema e le ipotesi implicite sulle quali era costruito. La sua risposta possiede anche il valore didattico del controesempio, uno strumento centrale nella matematica di Peano: mostra che il calcolo diventa necessario soltanto dopo aver assunto che i carrettieri procedano senza fermarsi, mantengano velocità costanti e si comportino come punti materiali.

L’episodio è raccontato da Lalla Romano nella presentazione alla biografia di Peano scritta da Hubert C. Kennedy. Romano era pronipote del matematico e lo aveva conosciuto nell’ambiente familiare. Per questo rivendica «la coerenza, l’unità di una vita in nessun modo sdoppiata tra interno ed esterno, tra idea e costume». In Peano la matematica, l’insegnamento e la vita quotidiana non costituivano mondi separati. Il bisogno di rigore e semplicità che guidava la sua ricerca si manifestava anche nel rifiuto delle convenzioni prive di ragione e nella naturalezza dei rapporti umani.

Al rigore della mente si accompagnava, osserva Romano, «un’altra peculiarità altrettanto rara: la fantasia». Peano conservava una disposizione infantile alla meraviglia e al gioco. Negli ultimi anni la scuola, la storia della matematica e la formazione degli insegnanti occuparono una parte crescente della sua attività.

La cattedra di Matematiche complementari era stata istituita all’Università di Torino nel 1923, in seguito alla riforma Gentile. Quando nel 1925 Francesco Giacomo Tricomi giunse da Firenze per insegnare Analisi algebrica e Matematiche complementari, Peano gli propose uno scambio singolare: ciascuno avrebbe conservato formalmente la propria cattedra, ma avrebbe insegnato la materia dell’altro. Peano rimase quindi titolare di Analisi infinitesimale e Tricomi di Matematiche complementari, mentre nella pratica i loro corsi furono invertiti. L’accordo durò sei anni, finché nel 1931 Peano fu assegnato ufficialmente alla cattedra di Matematiche complementari.

Kennedy osserva che questo insegnamento era ormai più vicino agli interessi di Peano, anche perché comprendeva argomenti didattici rivolti agli insegnanti delle scuole superiori. Il passaggio dall’Analisi infinitesimale alle Matematiche complementari non fu dunque soltanto un riassetto accademico: testimonia la crescente attenzione di Peano verso la scuola e la formazione dei docenti.

Già nel 1923 Peano partecipava attivamente alla Mathesis e discuteva gli effetti della riforma Gentile sull’istruzione secondaria. Al congresso nazionale di Livorno sostenne, fra l’altro, la possibilità per i laureati in matematica di conseguire la laurea in fisica con un solo anno aggiuntivo e l’accesso dei diplomati del liceo scientifico a facoltà diverse da Scienze e Medicina. Kennedy riassume la sua posizione osservando che Peano «tendeva a lasciare aperta la strada a più possibilità».

Nel 1924, commentando una relazione ministeriale sui libri di aritmetica per le scuole elementari, Peano affrontò la questione attraverso un excursus storico. Ricordò il metodo catechistico, fondato sulle domande del maestro e sulle risposte dell’alunno; la successiva scomparsa delle domande, sostituite da definizioni da imparare a memoria; quindi il ricorso ai simboli e, infine, l’introduzione dei giochi e dei problemi pratici. La storia dell’insegnamento diventava così uno strumento per riconoscere i limiti di un’aritmetica trasmessa dogmaticamente. A questo intervento è dedicato l’articolo di Matmedia I libri di testo per l’insegnamento dell’Aritmetica.

Peano vi richiamava anche gli errori e le manchevolezze presenti nei libri di testo. È inevitabile domandarsi che cosa avrebbe osservato oggi, constatando che formulazioni matematicamente discutibili non sono più confinate nei manuali, ma compaiono negli stessi documenti destinati a orientare l’insegnamento. È il caso dell’«aspetto ricorsivo» del numero naturale, posto dalle nuove Indicazioni Nazionali sullo stesso piano dei suoi aspetti cardinale e ordinale.

Nello stesso anno pubblicò Giochi di aritmetica e problemi interessanti, un volumetto di sessantaquattro pagine, più volte ristampato e rivolto esplicitamente agli insegnanti. Vi raccolse quadrati magici, indovinelli, tavole numeriche, tecniche di calcolo e problemi pratici con l’intento dichiarato di rendere dilettevole, o almeno meno noiosa, l’aritmetica.

I problemi erano spesso accompagnati dalla loro storia e collegati alle civiltà nelle quali erano stati elaborati. Presentando i quadrati magici, Peano ne ricordava la diffusione fra Persiani, Cinesi, Indiani, Arabi ed Europei, osservando semplicemente che «servono nella scuola come esercizio di addizione». Parlando dell’abaco, risaliva invece ai calculi, i sassolini dai quali deriva la parola “calcolo”, passava per Pitagora, per gli strumenti rinvenuti a Pompei e per il suan-pan cinese, fino al loro possibile impiego nelle prime scuole.

La storia della matematica non svolgeva una funzione celebrativa: mostrava che numeri, algoritmi e strumenti di calcolo sono nati da problemi, si sono trasformati e sono passati da una civiltà all’altra. Conoscerne la storia aiutava a liberarli dall’apparenza di regole eterne e a restituirli come costruzioni umane.

Peano attribuiva grande importanza ai problemi pratici, pur senza ridurre tutta la matematica alla sua utilità immediata. Riconosceva che i quadrati magici, gli scacchi e alcune questioni di matematica pura, anche prive di applicazioni pratiche, potevano risultare piacevoli. Aggiungeva però che non dovevano essere imposti a chi non vi trovava interesse. Ciò che rifiutava non era dunque l’astrazione, ma l’imposizione di esercizi dei quali l’allievo non comprendeva il senso. L’ultimo capoverso del volumetto contiene una vera dichiarazione pedagogica:

«La differenza fra noi e gli allievi affidati alle nostre cure sta solo in ciò, che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell’insegnante che non sa spiegare. Non vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi come sono, e richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l’insegnante tormenta i suoi alunni e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro di sé e la scienza che insegna, non solo il suo insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sarà per lui un continuo tormento. Ognuno si fabbrica la sua fortuna, buona o cattiva. Chi è causa del suo mal pianga se stesso. Così disse Giove, e lo riferisce Omero, Odissea, I, 34. Con questi principi, caro lettore e collega, vivrai felice».

Sono parole sorprendentemente nette. La maggiore esperienza non autorizza il docente a riversare sugli allievi la responsabilità dell’insuccesso: gli impone, al contrario, di accoglierli come sono e di interrogare il proprio modo di spiegare. Se una disciplina diventa causa di tormento e di ostilità, il fallimento coinvolge insieme l’apprendimento e il rapporto fra docente, allievo e sapere.

La stessa esigenza di semplicità compare nella riflessione di Peano sulle notazioni. Come ricorda l’articolo di Matmedia La razionalità pratica di Peano, i simboli non dovevano complicare il pensiero, ma semplificarlo. Le notazioni dovevano essere strumenti capaci di ridurre la fatica e di rendere più naturale il passaggio dal conosciuto al nuovo. L’economia della scrittura diventava così anche un criterio didattico.

La capacità di rendere concreta la matematica si manifestava persino nella sua casa di Cavoretto. Sul terrazzo Peano aveva fatto disegnare la curva che porta il suo nome, capace di riempire interamente un quadrato. Quando allievi e discepoli salivano da Torino per mangiare la frutta e conversare con lui, apriva la porta del terrazzo e annunciava con la sua abituale ironia: «Questo è il mio spazio; voi non potete entrare!».
Anche la curva di Peano aveva la forza di un controesempio: smentiva la convinzione intuitiva che una curva, essendo una linea, non potesse riempire una superficie. Se passava per ogni punto del quadrato, nel suo spazio non rimaneva posto per nessun altro. Un risultato teorico che metteva in crisi la nozione intuitiva di curva diventava così un luogo visibile e quasi abitabile.

Lalla Romano definisce il modo di educare di Peano «non sistematico, occasionale, paradossale». Egli non affidò le proprie idee pedagogiche a un sistema organico, ma le disseminò negli scritti, nei corsi, nelle battute e negli incontri. Sosteneva, per esempio, che chi volesse imparare l’italiano dovesse andare a Londra per studiarlo su Dante e propose provocatoriamente di insegnare il greco «in dieci minuti».

Anche l’interesse per le lingue internazionali e il latino sine flexione nasceva da un’analoga esigenza di semplificazione. Peano cercava di eliminare flessioni, irregolarità e particolarismi linguistici che riteneva non necessari alla comunicazione. Matematica e lingua rispondevano così alla medesima aspirazione: rendere il sapere più facilmente trasmissibile oltre le frontiere nazionali. Le sue provocazioni contenevano una domanda seria: quanto di ciò che rende difficile un sapere appartiene realmente al sapere e quanto, invece, alle forme nelle quali abbiamo deciso di trasmetterlo?

Anche la sua posizione sugli esami era radicale: li giudicava «assurdi e tormentosi», privi di utilità scientifica e perfino dannosi per la salute. Ammetteva soltanto quelli di concorso, che riteneva dovessero essere difficili. Vi si riconosce la sua diffidenza verso ogni pratica che, invece di accertare la comprensione, premia la capacità di riprodurre la risposta attesa.

La sua insofferenza per le costrizioni emerge anche nell’episodio del ricovero per broncopolmonite. Dopo due giorni Peano uscì inosservato dall’Ospedale Mauriziano, raggiunse l’Accademia di Artiglieria, dove insegnava, ottenne un cavallo e tornò a Cavoretto. L’episodio restituisce, con immediatezza quasi narrativa, l’indipendenza e l’anticonformismo del personaggio.

Lo sguardo affettuoso della pronipote trova conferma in quello, più distaccato, del biografo. Kennedy distingue fra il primo periodo dell’attività di Peano, decisivo per il progresso della logica e della matematica, e il secondo, che considera invece il più interessante dal punto di vista umano. «È l’uomo di questo periodo che io avrei voluto conoscere», scrive. A colpirlo furono la gentilezza, la capacità di attrarre discepoli e di conservare con loro rapporti duraturi, la tolleranza per le debolezze umane e un ottimismo mai venuto meno.

Lalla Romano aveva conosciuto Peano nella familiarità dei gesti quotidiani; Kennedy lo incontrò attraverso i documenti, gli scritti e le testimonianze. I due sguardi finiscono però per convergere: dietro il logico rigoroso e il costruttore di simboli riconoscono un uomo gentile, fantasioso, capace di suscitare affetto e di mantenere fiducia negli altri.

La coerenza fra pensiero e vita si conservò fino all’ultimo giorno. La sera del 19 aprile 1932, dopo avere tenuto regolarmente le sue lezioni, Peano andò al cinema a vedere L’allegro tenente, la commedia musicale di Ernst Lubitsch con Maurice Chevalier. Tornato a casa, ne raccontava divertito la trama alla moglie, ridendo fra i dolorosi colpi della tosse. Morì poche ore dopo, nelle prime ore del 20 aprile.

I carrettieri fermi all’osteria, i giochi aritmetici provenienti da civiltà lontane, la curva disegnata sul terrazzo, il greco da insegnare in dieci minuti e il ritorno a cavallo appartengono a quel secondo Peano che Kennedy avrebbe voluto conoscere: un uomo curioso della storia e attento alla scuola, convinto che il rigore non dovesse irrigidire il pensiero, ma liberarlo.

La sua pedagogia non si tradusse in un sistema, ma ci lascia una domanda ancora decisiva per la didattica: quanto di ciò che imponiamo agli studenti appartiene davvero alla conoscenza e quanto, invece, alle convenzioni costruite intorno ad essa?