Dalle operazioni con gli allineamenti decimali alla completezza di ℝ: come si calcola con i numeri reali e perché la retta non ha più «vuoti».
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Riprendiamo la trattazione dei numeri reali per rispondere alle domande rimaste aperte nella prima parte. Come si procede, all’atto pratico, con l’addizione e la moltiplicazione di due numeri reali? Come si definiscono la sottrazione e la divisione? E, ripetendo in \(\mathbb{R}\) la costruzione che ha consentito di ampliare \(\mathbb{Q}\), si ottiene un nuovo tipo di numeri oppure non si esce dall’insieme dei reali?
Il percorso muove dagli allineamenti decimali illimitati e dalle loro approssimazioni per difetto e per eccesso. Attraverso esempi numerici e dimostrazioni, vedremo come queste approssimazioni permettano di costruire i risultati delle quattro operazioni: non soltanto calcolarli con uno strumento automatico, ma comprendere come vengono determinati e quale significato abbiano le cifre ottenute.
Torneremo quindi alle questioni che rendono necessario il passaggio dai razionali ai reali: l’esistenza di un numero il cui quadrato sia \(2\), il rapporto fra grandezze incommensurabili, la possibilità di associare un numero a ogni punto di una retta cartesiana. Questioni che collegano il calcolo alla misura e alla rappresentazione geometrica dei numeri.
L’approdo è una proprietà fondamentale: ogni coppia di classi contigue di numeri reali ammette uno e un solo elemento di separazione. La costruzione che, a partire dai razionali, aveva condotto ai reali non produce dunque, se ripetuta in \(\mathbb{R}\), numeri ulteriori. Si mette così a fuoco la completezza dei numeri reali, il carattere che consente di rappresentare una retta senza lasciare «vuoti».
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