Critiche pretestuose. Il ruolo delle definizioni
(di Michelangelo Di Stasio e Alessio Mongillo)
Su Nuova Secondaria (n 4 2005) è apparso un articolo, a firma dei proff. Mario Marchi e Antonio Marro, di commento alle tracce dei temi di Matematica assegnati agli ultimi Esami di Stato.
Nell’articolo vengono fatte critiche che appaiono alquanto pretestuose.
Una delle critiche è questa: i due problemi “ insistono essenzialmente su argomenti analoghi” mentre “ sarebbe stato più opportuno, avendo a disposizione due problemi e non uno, coprire meglio il vasto spettro di argomenti che costituiscono il programma di matematica anziché limitarsi alle domande standard riguardanti l’Analisi matematica.”
Appare una critica alquanto forzata. L’Analisi Matematica non ha domande standard ma eleganti e potenti metodi di calcolo, che il candidato dovrebbe mostrare di padroneggiare. Avremmo capito piuttosto una critica nel caso opposto.
Supponiamo infatti, che uno dei due problemi non avesse trattato gli argomenti “standard” dell’analisi. In questo caso, un candidato, che non ha l’obbligo di svolgere entrambe le tracce, avrebbe potuto risolvere (per qualsivoglia motivo) proprio questo problema. Tra i dieci quesiti del questionario avrebbe potuto sceglierne agevolmente cinque che non trattano di analisi, Così la prova di matematica del nostro candidato avrebbe potuto non mostrare alcun segno delle sue conoscenze riguardo questo importantissimo campo che rappresenta il punto più alto della preparazione matematica di un maturando. E’ ragionevole, poi, che i problemi trattino continuità, derivate, grafici e integrali.
Ecco perché la critica mossa ai due problemi ci sembra forzata e poco sostenibile.
A dire il vero questo senso di forzatura lo si può avvertire anche leggendo le osservazioni di lessico. In una di queste, addirittura, gli autori dell’articolo, che pure non disdegnano di scrivere “derivata di una curva, consigliano, o meglio, considerano “più opportuno dire che ciò che si richiede è tracciare l’andamento della curva” piuttosto che disegnare la curva.
Una critica frequente, nel commento al questionario, va a toccare argomentazioni profonde sul piano logico.
Difatti, i quesiti 2, 5 e 7 vengono criticati poiché “iniziano con la richiesta di dare una definizione di..”. Spiegano, gli autori dell’articolo in questione, che una tale domanda è molto pericolosa poiché gli oggetti matematici non hanno un’unica definizione e perché chiedendo definizioni e dimostrazioni si incentivano gli studenti a presentarsi agli esami con strumenti elettronici ben nascosti. Per essere chiari, si criticano i quesiti impostati su una delle caratteristiche basilari della matematica, in senso strettamente logico, il saper definire un oggetto.
Ora, un oggetto matematico è caratterizzato da proprietà, e queste proprietà possono equivalere ad altre proprietà, così si può definire lo stesso oggetto enunciando le une o le altre sue proprietà indifferentemente. Ad esempio, la continuità di una funzione in un punto del suo dominio può essere definita o tramite gli intervalli ( i famosi fratellini ? e ? ) o tramite i limiti destro e sinistro coincidenti con il valore della funzione in quel punto. Se si pone l’una come definizione, l’altra proprietà può essere dimostrata e diventa un teorema e così viceversa. Il concetto di definizione è importantissimo, e la stessa logica ne è interessata, proprio per la ragione stessa per cui gli autori sembrano volerlo sminuire: perché non esiste un’unica definizione.
Inoltre richiamare l’attenzione dello studente sul saper definire oggetti matematici, che siano numeri o altro, permette allo stesso di migliorare la sua precisione nel definire; di affinarsi nell’ arte di “inchiodare” un oggetto astratto con le giuste parole atte ad identificarlo, non una di più né una di meno.
Per un matematico saper definire significa esser capace di formalizzare e caratterizzare concetti, idee, intuizioni.
E’ sbagliato evitare di chiedere definizioni sia in sede di esame orale che scritto. Anzi, bisognerebbe insistere di più su questo aspetto semmai chiedendo allo studente di definire un ente matematico con parole proprie ma con rigore e in modo da evitare qualsiasi ambiguità. Le definizioni non sono enunciati da memorizzare o far memorizzare ad un computer tascabile.
Il matematico immagina, definisce e dimostra. Si tratta della caratteristica fondamentale su cui si basa un sistema ipotetico deduttivo che è la matematica nell’accezione più ampia.
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