I movimenti che mutano la lemniscata in sè.
Eventuali riferimenti bibliografici si trovano nel capitolo “Isometrie dello spazio” del testo: A. Morelli – Geometria – Loffredo Editore. ( a cura di Ferdinando Casolaro).
L)
L’insieme M dei movimenti che mutano L in sé forma gruppo rispetto all’operazione Å di composizione dei movimenti nel piano.
E’ opportuno osservare che, se per movimento del piano si intendono le isometrie dirette, la struttura algebrica che trasforma L in sé è costituita da due elementi – la simmetria centrale di centro l’origine 0 e l’identità I – che formano gruppo rispetto alla composizione Å, in quanto si ha:
i) Å
= I;
ii) Å= I Å
=
;
iii) ( Å
) Å
=
Å(
Å
) =
Å
Å
=
.
La i) caratterizza la chiusura di M rispetto a Å e l’esistenza dell’elemento simmetrico ( è simmetrico di se stesso); la ii) assicura l’esistenza dell’elemento neutro rispetto a Å, la iii) esprime la proprietà associativa. E’ evidente che tale gruppo è abeliano.
Se per movimento che muta L in sé, si è inteso considerare qualsiasi isometria del piano che trasforma L in sé, allora dobbiamo includere tra le trasformazioni richieste (oltre a ed I), le simmetrie
e
che individuano rispettivamente i ribaltamenti rispetto all’asse delle x ed all’asse delle y. Il gruppo è rappresentato dalla seguente tabella:
il cui significato è evidente.
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