I movimenti che mutano la lemniscata in sè.
Eventuali riferimenti bibliografici si trovano nel capitolo “Isometrie dello spazio” del testo: A. Morelli – Geometria – Loffredo Editore. ( a cura di Ferdinando Casolaro).
L) 
L’insieme M dei movimenti che mutano L in sé forma gruppo rispetto all’operazione Å di composizione dei movimenti nel piano.
E’ opportuno osservare che, se per movimento del piano si intendono le isometrie dirette, la struttura algebrica che trasforma L in sé è costituita da due elementi – la simmetria centrale 
di centro l’origine 0 e l’identità I – che formano gruppo rispetto alla composizione Å, in quanto si ha:
i) 
Å 
= I;
ii) 
Å= I Å 
= 
;
iii) ( 
Å 
) Å 
= 
Å( 
Å 
) = 
Å 
Å 
= 
.
La i) caratterizza la chiusura di M rispetto a Å e l’esistenza dell’elemento simmetrico ( 
è simmetrico di se stesso); la ii) assicura l’esistenza dell’elemento neutro rispetto a Å, la iii) esprime la proprietà associativa. E’ evidente che tale gruppo è abeliano.
Se per movimento che muta L in sé, si è inteso considerare qualsiasi isometria del piano che trasforma L in sé, allora dobbiamo includere tra le trasformazioni richieste (oltre a 
ed I), le simmetrie 
e 
che individuano rispettivamente i ribaltamenti rispetto all’asse delle x ed all’asse delle y. Il gruppo è rappresentato dalla seguente tabella:
il cui significato è evidente.
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