I movimenti che mutano la lemniscata in sè.

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I movimenti che mutano la lemniscata in sè.

I movimenti che mutano la lemniscata in sè. Eventuali riferimenti bibliografici si trovano nel capitolo “Isometrie dello spazio” del testo: A. Mo


I movimenti che mutano la lemniscata in sè.

Eventuali riferimenti bibliografici si trovano nel capitolo “Isometrie dello spazio” del testo: A. Morelli – Geometria – Loffredo Editore. ( a cura di Ferdinando Casolaro).

L)     

L’insieme M dei movimenti che mutano L in sé forma gruppo rispetto all’operazione Å di composizione dei movimenti nel piano.

E’ opportuno osservare che, se per movimento del piano si intendono le isometrie dirette, la struttura algebrica che trasforma L in sé è costituita da due elementi    la simmetria centrale  di centro l’origine 0 e l’identità I    che formano gruppo rispetto alla composizione Å, in quanto si ha:

 

i)                    Å   = I;

ii)                   Å= I  Å  =  ;

iii)               ( Å ) Å   =   Å( Å )  =  Å   Å   =  

La  i)  caratterizza la chiusura di M rispetto a  Å e l’esistenza dell’elemento simmetrico ( è simmetrico di se stesso);  la  ii)  assicura l’esistenza dell’elemento neutro rispetto a Å, la  iii)  esprime la proprietà associativa. E’ evidente che tale gruppo è abeliano.

Se per movimento che muta L in sé, si è inteso considerare qualsiasi isometria del piano che trasforma L in sé, allora dobbiamo includere tra le trasformazioni richieste (oltre a  ed I), le simmetrie  e  che individuano rispettivamente i ribaltamenti rispetto all’asse delle x ed all’asse delle y. Il gruppo è rappresentato dalla seguente tabella:

         

    

   

il cui significato è evidente.

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