Il settimo problema di Hilbert

Il settimo problema di Hilbert: irrazionalità e trascendenza di determinati numeri

Joseph Liouville (1809 – 1882)

L’esistenza di numeri trascendenti era stata dimostrata per la prima volta da Liouville (in una memoria presentata il lunedì 13 maggio 1844).

Nel 1873 Hermite aveva dimostrato la trascendenza del numero e (base dei logaritmi naturali) e Lindemann nel 1882 quella di π.  Ma il problema di provare la irrazionalità o la trascendenza di molti numeri rimaneva una questione aperta.

         E’ aperta ancora oggi ad esempio la questione di provare la trascendenza della costante C di Eulero-Mascheroni:

Un numero della forma ,  con α e ß algebrici, è algebrico o trascendente? Ossia si può ottenere o no come soluzione di un’equazione algebrica a coefficienti razionali?.

         Hilbert fece l’esempio specifico del numero   (escludeva i casi corrispondenti ad  α = 0, α = 1 e ß razionale, perchè per essi è abbastanza facile provare che  è algebrico). Il problema fu risolto nel 1934 indipendentemente da A. Gelfond e Th. Schneider sulla base di risultati ottenuti da Gelfond nel 1929.

         La trascendenza di   rientra come caso particolare in questo risultato generale, dal quale segue pure la trascendenza di Log2. Infatti indicando Log 2 e  10 rispettivamente con ß e a, per definizione di logaritmo, si può scrivere:

Se ß fosse algebrico e irrazionale, allora, per il  teorema di Gelfond-Scheider , 2 sarebbe trascendente.

         Quindi, poichè 2 è invece algebrico, ß=Log2 è razionale  o è trascendente. Ma Log 2 è irrazionale, quindi esso deve essere trascendente.