Dalla Befana sei esercizi per fare matematica. Sei problemi come piccoli doni: non per allenarsi, ma per fare matematica.
Befana per Image Creator
La Befana, per tradizione, porta doni semplici ma non banali.
Anche in matematica, spesso, i regali migliori non sono le soluzioni, ma i problemi che costringono a pensare.
Il titolo richiama un articolo proposto lo scorso anno e che si intende qui riprendere. In breve, si tratta di sei esercizi di matematica pensati non come routine di allenamento, ma come occasioni per fare davvero matematica (come d’altronde ne esistono tanti): osservare, formulare ipotesi, discutere, sbagliare, tornare sui propri passi. Sono esercizi che non chiedono soltanto di sapere, ma di agire matematicamente.
Rimandando all’articolo originario per conoscerne l’origine e l’impostazione completa, si propone di seguito un riepilogo dei sei problemi.
1. Cancellare 100 cifre da 1 a 60 per massimizzare il numero
Si scrivono in sequenza i numeri da 1 a 60 (1 2 3 … 60).
Scopo: cancellare 100 cifre in modo che il numero formato dalle cifre rimanenti sia il più grande possibile.
La strategia ottimale consiste nel conservare, quando possibile, le cifre più grandi (in particolare i 9). Il risultato massimo ottenibile è: 99 999 585 960
2. Visibilità dei lati di un poligono da un punto
Dato un poligono non intrecciato e un punto interno O, alcuni lati non risultano completamente “visibili” da , nel senso che non tutti i loro punti possono essere congiunti a con un segmento interamente contenuto nel poligono.
Domanda: è possibile costruire un poligono e un punto (interno o esterno) tali che tutti i lati siano visibili da quel punto?
L’esercizio invita a riflettere su concetti fondamentali della geometria, come convessità e concavità.
3. Radici e potenze
Si consideri un numero positivo n: il prodotto della sua radice cubica per la sua radice sesta è uguale alla radice quadrata di n.
L’esercizio consente di verificare e consolidare la comprensione delle potenze a esponente frazionario e degli algoritmi sui radicali.
4. “Il tutto è maggiore di una sua parte”
L’affermazione intuitiva secondo cui il tutto è sempre maggiore di una sua parte non è universalmente valida in matematica.
Nel caso degli insiemi infiniti, ad esempio, tale enunciato risulta falso nel quadro della teoria degli insiemi. Il problema stimola una riflessione critica sulla relatività di enunciati apparentemente ovvi.
5. Un ragionamento fallace che “dimostra” che 0 = 1
Viene presentato un ragionamento apparentemente corretto che conduce a un risultato assurdo: 0 = 1
L’obiettivo è individuare l’errore logico o algebrico nascosto, rafforzando così la consapevolezza dei passaggi formali e il pensiero critico.
6. Numerazione dei vertici di due ottagoni sovrapposti
Si ritagliano due ottagoni regolari in cartoncino.
Domanda: è possibile numerare i vertici in modo tale che, qualunque sia la sovrapposizione dei due ottagoni, esistano almeno due vertici con lo stesso numero?
Il problema, presente anche in contesti di gara matematica, sollecita competenze di tipo combinatorio e geometrico.
Questi esercizi non mirano semplicemente a fornire risposte, ma a:
- stimolare il ragionamento;
- guidare alla comprensione intuitiva e formale dei concetti;
- incoraggiare la formulazione di nuove domande ed esercizi analoghi.
Tra i sei esercizi proposti, il primo — apparentemente il più semplice — è forse anche il più istruttivo. Non richiede tecniche avanzate né conoscenze specialistiche, eppure costringe a prendere decisioni, a confrontare strategie, a distinguere tra scelte locali e obiettivi globali. È un problema che non si risolve con il calcolo, ma con l’argomentazione.
Proprio per questo si presta a essere discusso e variato. Si può, ad esempio, ridurre il campo (scrivi in sequenza i numeri da 1 a 20, cancella k cifre), oppure mantenere la struttura cambiando l’obiettivo (rendere il numero rimanente il più piccolo possibile). Piccole modifiche che non semplificano il problema, ma lo rendono più ricco.
In classe, o nella formazione dei docenti, esercizi di questo tipo possono diventare veri e propri laboratori di matematica viva, in cui l’errore non è un inciampo da evitare ma una tappa necessaria del ragionamento.
Se la Befana porta doni essenziali, questo è forse il più prezioso: ricordare che anche un problema elementare, se ben scelto, può aprire spazi di pensiero profondi. Sta a chi insegna decidere se fermarsi alla risposta o usare il problema come occasione per far emergere la matematica che conta davvero. Al riguarda si rilegga:
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