La matematica e la pizza

Dalla matematica del caffellatte ai teoremi della pizza e del panino al prosciutto. Il contributo di Gemini nello sviluppo del tema la matematica e la pizza.

Lezione di pizza per Image Creator

Sul quotidiano la Repubblica il 10 gennaio 2025 è stata pubblicata un’intervista di Piotr Cieslinski al matematico austriaco Martin Hairer. Titolo: “Ora vi spiego la matematica del caffellatte”. Sottotitolo: “Martin Hairer, scienziato vincitore della Medaglia Fields, applica i numeri alla vita quotidiana. Ma a volte è più facile esplorare l’universo che il contenuto di una tazza.” L’intervistato ha dato importanti contributi alla teoria delle equazioni differenziali parziali stocastiche, usate per tentare di descrivere i fluidi, senza che siano state ancora trovate soluzioni, come accade, ad esempio, nel caso della ricerca di una descrizione della “miscelazione di caffè e latte”.

Sulla scia del rapporto fra astrazione matematica e realtà concreta, campo di studi privilegiato per Martin Hairer, proviamo a sostituire al caffellatte qualcosa di diverso dai fluidi, che sia almeno in apparenza meno complicato.  Poiché il 17 gennaio 2025 si è celebrato il World Pizza Day – Giornata mondiale della pizza, è questa l’oggetto prescelto. Abbiamo interrogato in proposito Google Gemini, applicazione dell’Intelligenza Artificiale già in precedenza addestrata a destreggiarsi di fronte a quesiti del genere:

Possiamo immaginare un rapporto fra la matematica e la pizza?

“Certamente! La matematica e la pizza possono sembrare mondi a sé stanti, che invece in realtà sono più legati di quanto si possa pensare. Ecco alcuni esempi di come la matematica entra in gioco nella nostra amata pizza:

• La forma perfetta: la pizza classica è rotonda, una forma geometrica che ha affascinato i matematici per secoli. Il cerchio è una figura semplice, ma nasconde al suo interno concetti complessi come il π (pi greco), che lega la circonferenza al diametro.
• Tagli equanimi: quando dividiamo una pizza, entra in gioco la geometria. Come tagliare la pizza in fette uguali? Esistono diversi metodi, e la matematica ci aiuta a trovare la soluzione più efficiente.
• Ingredienti e proporzioni: preparare una pizza richiede di dosare gli ingredienti in modo preciso. Le ricette sono vere e proprie formule matematiche, dove ogni ingrediente ha una sua quantità specifica.
• Cottura e temperatura: anche la cottura della pizza è un processo che coinvolge la matematica. La temperatura del forno, il tempo di cottura e lo spessore della pasta influenzano il risultato finale.
• Imballaggio e costi: la forma della pizza influisce sul modo in cui viene imballata e, di conseguenza, sui costi di produzione e vendita.

Ma non solo! La pizza è stata anche oggetto di studi più complessi. Ad esempio, alcuni matematici si sono chiesti quale sia il modo migliore per tagliare una pizza in modo che ogni fetta abbia la stessa quantità di crosta e di ripieno.

In conclusione, la matematica è presente in ogni fase della vita della pizza, dalla produzione al consumo. Capire questi legami può rendere la matematica più divertente e avvicinarci a un cibo che tutti amiamo.”

Dopo aver fornito questa risposta, Google Gemini ci ha stimolato rivolgendo lei a noi una sua domanda:

“Ti piacerebbe approfondire qualche aspetto in particolare? Potremmo parlare del teorema della pizza, oppure delle formule per calcolare l’area di una pizza, o ancora delle combinazioni infinite di ingredienti e gusti.”

Abbiamo quindi accettato l’invito:

Cos’è il teorema della pizza?

“Il teorema della pizza è un concetto matematico che nasce da una domanda apparentemente semplice: come tagliare una pizza in modo che tutti gli ospiti ricevano una porzione uguale? Sembra banale, ma se iniziamo a considerare un numero elevato di persone e diversi tipi di taglio (a spicchi, a quadrati, a spirale…), le cose si complicano.

Cosa dice il teorema?

In sostanza, il teorema dimostra che, indipendentemente dal numero di persone, è possibile dividere una pizza in fette uguali, a patto che:

• Almeno un taglio passi per il centro: questo è fondamentale per garantire una distribuzione uniforme degli ingredienti.
• I tagli siano effettuati in modo simmetrico: questo significa che le fette devono avere angoli e dimensioni simili.

Perché è importante?

• Equità: assicura che tutti ricevano una porzione equa, evitando discussioni e malumori.
• Divertimento: trasforma un gesto quotidiano in un’occasione per riflettere sulla matematica e sulla geometria.
• Applicazioni pratiche: i principii del teorema possono essere applicati in molti altri contesti, dalla divisione di torte alla distribuzione di risorse.

Un po’ di storia

Il teorema della pizza è stato oggetto di studi e dimostrazioni da parte di diversi matematici. Sebbene non esista una data precisa di nascita, è un argomento che ha sempre affascinato per la sua semplicità e la sua applicabilità alla vita quotidiana. Il teorema della pizza, pur sembrando un concetto giocoso, ha attirato l’attenzione di diversi matematici nel corso degli anni. Sebbene non esista un unico nome associato alla sua scoperta, diversi studiosi hanno contribuito a formalizzarlo e a esplorare le sue implicazioni. La matematica, come spesso accade, trova bellezza e complessità anche nelle cose più semplici.

Alcuni nomi da ricordare:

• Greg Frederickson: questo matematico è particolarmente noto per aver formulato una serie di dimostrazioni che coprono tutti i casi possibili del teorema della pizza, dimostrando che è sempre possibile dividere una pizza in parti uguali, indipendentemente dal numero di persone.
• Joel Haddley e Stephen Worsley: due studiosi dell’Università di Liverpool hanno approfondito il tema, proponendo metodi di taglio innovativi e analizzando le diverse variabili che influenzano la divisione della pizza.

Potresti sorprenderti, ma anche il celebre matematico Carl Friedrich Gauss ha lasciato il suo segno in questo ambito. Il suo teorema egregio stabilisce che la curvatura di una superficie non cambia quando viene piegata o dispiegata. Questo principio può essere applicato anche alla pizza, dimostrando che la curvatura della superficie della pizza rimane costante, indipendentemente da come viene tagliata.

Lo studio del teorema della pizza ha implicazioni che vanno oltre la semplice divisione di una pizza:

• Geometria computazionale: gli algoritmi sviluppati per tagliare una pizza in modo ottimale possono essere applicati in altri campi, come la robotica e la progettazione industriale.
• Teoria dei grafi: la divisione della pizza può essere vista come un problema di teoria dei grafi, dove le fette rappresentano i vertici e i tagli gli spigoli.
• Divulgazione scientifica: il teorema della pizza è un ottimo strumento per avvicinare le persone alla matematica, dimostrando che anche i concetti più complessi possono essere spiegati in modo semplice e divertente.”

A questo punto Google Gemini ci ha rivolto l’invito ad approfondire l’argomento consultando altre fonti. Ecco un approfondimento dall’enciclopedia in rete Wikipedia, nella quale a un certo punto ci si imbatte anche nel “teorema del panino al prosciutto”:

“Il teorema della pizza è un teorema di geometria elementare che dimostra l’uguaglianza di due aree ottenute partizionando opportunamente un cerchio. Il nome del teorema deriva dal fatto che la costruzione imita il modo di tagliare la pizza.

Siano p un punto interno al disco e n un intero multiplo di quattro e maggiore o uguale ad otto. Si partiziona il disco in n settori equiangolari, costruiti tracciando una retta per p e ruotandola n/2 − 1 volte intorno a p di un angolo pari a 2π/n. Se si numerano progressivamente in senso orario o antiorario, allora la somma delle aree dei settori associati ad un numero pari è uguale alla somma delle aree dei settori associati ad un numero dispari.

Come conseguenza immediata, se due persone tagliano una pizza in 4m + 4 settori equiangolari (con m qualsiasi naturale diverso da zero), centrati in un punto qualsiasi, e si alternano prendendo una fetta a testa, percorrendo la pizza in senso orario o antiorario, entrambi ne mangeranno la stessa quantità.

Storia

Dimostrazione senza parole di Carter & Wagon per il problema ad otto settori. I blocchi con numeri corrispondenti sono fra loro congruenti.

Il problema da cui nasce il teorema è stato proposto da L.J. Upton nel maggio 1968, pubblicato su Mathematical Magazine, e si limitava a considerare otto settori con angoli di 45°. Il testo originale era:

(EN)

«Four lines in a plane are concurrent at O. The angles between the lines are each 45°. A circle is superimposed on this configuration so that O lies within the circle. (a) Show that the alternate sectors cover one-half of the circle. (b) Show this result without use of the calculus.»

(IT)

«Quattro rette su un piano passano tutte per lo stesso punto O. Gli angoli fra le rette sono tutti di 45°. Una circonferenza è sovrapposta a questa configurazione in maniera che O cada all’interno del cerchio. (a) Dimostrare che i settori alterni coprono metà dell’area del cerchio. (b) Dimostrare il risultato senza fare uso del calcolo infinitesimale.»

La soluzione pubblicata nella rivista, sottoposta da Michael Goldberg (Washington, D.C.), è basata sulla manipolazione algebrica delle espressioni che esprimono le aree dei settori circolari. Oltre a rispondere al quesito del problema (ovvero mostrare che la suddivisione in otto settori è equa), Goldberg evidenzia che la soluzione si generalizza al caso in cui si suddivida il disco, in maniera analoga, in 4n + 4 settori equiangolari, permettendo di dividerlo equamente in n insiemi equiestesi di settori^[1] (la formulazione generale del teorema annunciata in precedenza è una conseguenza immediata di questo risultato).

Una più elegante dimostrazione senza parole per il problema ad otto settori è stata elaborata da Larry Carter e Stan Wagon, mostrando che per ogni divisione fatta secondo le ipotesi del teorema esiste una opportuna partizione dei settori in modo che ogni blocco contenuto in un settore pari sia congruente ad un corrispondente blocco contenuto in un settore dispari. Greg Frederickson ha formulato una famiglia di dimostrazioni di questo tipo che copre tutti i casi possibili del teorema nella formulazione generale.

Alle prese con i tagli per Image Creator

Generalizzazioni

La condizione che il numero di settori sia multiplo di quattro e maggiore di quattro è necessaria: si mostra facilmente che se il numero di settori è pari a quattro il teorema non è vero in generale. Con una elegante dimostrazione che sfrutta la trascendenza di π, Don Coppersmith mostra la non validità del teorema se il numero di settori non è divisibile per quattro, senza però esplicare quale dei due insiemi sia più esteso. Rick Mabry e Paul Deiermann hanno risolto tale problema correlato, posto su Mathematical Magazine, elaborando una versione più precisa del teorema, che indica quali delle due aree sia maggiore dell’altra nel caso non sussista l’uguaglianza:

• se il numero dei settori è congruo a 2 (mod 8) e nessun taglio passa per il centro del disco, allora l’insieme di fette tra le quali è presente quella contenente il centro ha area minore dell’altro;
• se il numero dei settori è congruo a 6 (mod 8) e nessun taglio passa per il centro del disco, allora l’insieme di fette tra le quali è presente quella contenente il centro ha area maggiore dell’altro;
• se un taglio passa per il centro, la costruzione è simmetrica e i due insiemi di fette hanno la stessa area indipendentemente dal numero di settori.

Nella stessa pubblicazione osservano anche che, se si definisce la crosta come il perimetro del disco oppure come una corona circolare compresa tra il perimetro ed una seconda circonferenza concentrica e di raggio minore, quando la pizza è divisa in parti uguali lo è anche la crosta. Essendo infatti equamente divise fra i due insiemi di fette le aree sia del disco maggiore sia di quello minore, lo sarà anche la loro differenza, che è appunto la crosta. Se invece la pizza è divisa in parti diverse, chi riceve più pizza riceve anche meno crosta.

Esempio con n = 12: l’area verde è uguale all’area arancione. Inoltre, secondo Hirschhorn et al. (1999), scegliendo opportunamente i settori è possibile dividere il disco in tre insiemi equiestesi.

Se la pizza è divisa in parti uguali lo sono anche i condimenti, se essi sono distribuiti su un disco (non necessariamente concentrico alla pizza) contenente il punto p nel quale è centrata la divisione dei settori. Inoltre, se un disco è equamente diviso secondo le condizioni del teorema (in un numero n di settori equiangolari con n multiplo di quattro e maggiore o uguale a otto) allora i settori possono essere raggruppati anche in n/4 insiemi equiestesi. Quindi, ad esempio, una pizza tagliata in dodici fette che rispettino le ipotesi del teorema potrà essere suddivisa equamente fra tre commensali, una divisa in venti fette tra cinque.

Risultati correlati

Dal punto di vista della teoria dei giochi si può studiare la strategia di scelta delle fette in maniera tale da ottenere la maggiore quantità di pizza. A questo scopo, in una versione del problema la pizza è affettata radialmente (senza l’ipotesi dei settori equiangolari) e due commensali si alternano nel prendere una fetta a testa, purché sia adiacente ad una fetta già presa. Se i due commensali scelgono le fette in maniera da tentare entrambi di massimizzare la propria quantità di pizza presa, chi prende la prima fetta può assicurarsi i 4/9 della pizza, ed esiste una divisione della stessa tale che egli non possa prenderne di più.

Un problema correlato più generale è quello dell’equa suddivisione (o del “taglio della torta”), che considera giochi simili nei quali più giocatori possono avere varie regole per misurare le porzioni prese (ad esempio, un commensale può preferire massimizzare la quantità di peperoni, mentre un altro può cercare di prendere più formaggio possibile).

Altri risultati matematici correlati al taglio della pizza coinvolgono la successione dei numeri poligonali centrali, che conta il numero di pezzi ottenuti tagliando la pizza lungo linee che non passano tutte per lo stesso punto (per le sue applicazioni al taglio dei cibi, tale successione è anche detta dell’organizzatore di banchetti pigro). Il teorema di Stone-Tukey (noto come teorema del panino al prosciutto) dimostra che per n oggetti qualsiasi in uno spazio n-dimensionale esiste un opportuno iperpiano (n−1)-dimensionale che li biseca simultaneamente: la sua applicazione al caso bidimensionale mostra che esiste sempre una retta che divide in due parti uguali due pizze oppure esiste un taglio rettilineo che divide in parti uguali sia una pizza che la sua crosta.”

Questa è una visione scientifica della pizza. Nel concludere l’excursus, sia consentito uno spostamento in campo umanistico, più precisamente filosofico. L’esempio, tratto da una vicenda realmente accaduta, può essere denominato “sillogismo della pizza”.

Era stato organizzato con spirito goliardico un incontro gastronomico al di fuori dell’ambiente scolastico. Un professore liceale con una delle sue classi era in pizzeria. A un certo punto una studentessa gli si rivolse con questo ragionamento:

“Secondo Feuerbach l’uomo è ciò che mangia. Lei, professore, mangia una pizza. Dunque, lei è una pizza.”

Per ulteriori approfondimenti sul teorema della pizza si può consultare la voce completa su Wikipedia: Teorema della pizza