Il gioco della zara alla maturità

Dadi e probabilità. Un po’ di storia e il gioco della “zara” presente tra i quesiti della prova scritta degli esami di maturità.

       Alea iacta est, “il dado è tratto”.
Cesare, nel varcare il Rubicone (49 a. C.)

Il dado è un piccolo cubo d’osso, di avorio, di legno o di materia plastica, che presenta, su ciascuna delle sei facce, un numero da 1 a 6, segnato per mezzo di punti colorati, in modo che le cifre delle facce opposte, sommate, diano sempre 7 (1+6; 2+5; 3+4). Il gioco dei dadi è considerato d’azzardo e viene fatto fra due o più persone. Secondo la più comune tecnica, ogni giocatore deve agitare i dadi in un bossolo o tra le mani, e quindi lasciarli cadere su un piano: si sommano i numeri delle facce superiori scoperte, e vince chi ha ottenuto la cifra maggiore.

Di origine remotissima, i dadi furono inventati – secondo la tradizione – da Palamede (colui che smascherò Odisseo quando questi si fingeva pazzo per sottrarsi alla guerra) durante l’assedio di Troia, ed erano molto in voga fra gli Etruschi e i Romani. I dadi antichi erano fatti di terracotta, d’ambra, di cristallo e talvolta di bronzo. Durante il Medio Evo incontrarono molto favore fra il popolo, ma furono vietati in alcune località, e in particolare a Firenze.

Gli Arabi usano dadi con facce variamente colorate, li gettano in gran numero e fanno dipendere la vincita dalle combinazioni di colore. Gli Eschimesi hanno prodotto dadi con figure incise, di particolare interesse artistico. Sono conosciuti anche da popoli a cultura primitiva, che usano, quali dadi rudimentali, conchiglie, avori, piccoli pezzi di legno dipinti, oppure ornati con semplici motivi geometrici.

Blaise Pascal (1623-1662)

Anticamente il dado ebbe anche un carattere divinatorio, che ha conservato a lungo presso alcuni popoli orientali.

Al gioco dei dadi si può far risalire la nascita del calcolo delle probabilità, sollecitata da problemi posti dagli accaniti giocatori, che passavano le loro serate nelle sale da gioco o nelle taverne.

Nel 1654, ad es. , il nobile Antoine Gombaud (cavaliere de Meré) pose al filosofo Blaise Pascal e allo studioso di matematica Pierre de Fermat un problema, che si può enunciare in questa forma: è più probabile ottenere almeno un 6 lanciando quattro volte un dado o ottenere almeno un 12 lanciando ventiquattro volte due dadi? Pascal e Fermat esaminarono attentamente il problema e lo risolsero (vedremo in seguito in quale modo). Possiamo datare da questo momento la nascita del calcolo delle probabilità.

Daremo ora la definizione “classica” di probabilità, quella che venne affermandosi nel Settecento e che, pur essendo un po’ ambigua, costituisce uno strumento utile per determinare la probabilità di molti eventi:

La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purchè tutti i casi considerati siano ugualmente possibili.

La probabilità di un evento fortuito E è, per definizione un numero compreso tra 0 e 1. La probabilità è 0 se l’evento è impossibile, vale 1 se l’evento è certo. Il non verificarsi di un evento E va considerato come un nuovo evento F, contrario ad E. E’ chiaro che le probabilità di due eventi contrari danno per somma 1.

Quello di probabilità è evidentemente un concetto astratto, distinto dal concetto sperimentale di frequenza (relativa) di un evento, definita come il rapporto tra il numero dei casi in cui l’evento si è manifestato e il numero totale delle prove fatte.

Per uno stesso evento la frequenza varia in generale col numero delle prove, e varia pure se si ripete una seconda volta lo stesso numero di prove. Ma, al crescere del numero delle prove, la frequenza va oscillando e convergendo intorno ad un limite, che coincide con la probabilità dell’evento valutata “a priori”. Vale dunque la seguente legge empirica del caso:

In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza (relativa) che è pressappoco uguale alla sua probabilità. L’approssimazione cresce ordinariamente col crescere del numero delle prove.

E’ bene fare rilevare un errore che molti commettono nella interpretazione di questa legge. I più caparbi e perseveranti in tale errore sono i giocatori del lotto che puntano i numeri che da tempo non vengono estratti, ritenendo che la probabilità della loro estrazione sia maggiore che per gli altri. Ciò giustificano dicendo che, in omaggio alla legge empirica del caso, alla fine tutti i numeri devono uscire un egual numero di volte. Questo ragionamento è assolutamente errato. Il risultato di ciascuna prova (se le prove sono indipendenti) non può in alcun modo essere influenzato dai risultati delle prove precedenti: come si dice, il caso non ha memoria.

Tornando ai dadi, nel gioco con uno solo di essi, la probabilità che compaia una data faccia è 1/6, cioè un caso favorevole su sei possibili.

Nel gioco con due dadi i casi possibili sono 6²=36, mentre i casi favorevoli, e quindi la probabilità, variano col valore dell’”uscita”. In particolare si ha:

Quindi l’”uscita” più probabile è il 7, che ha probabilità 1/6; le meno probabili sono il 2 (detta “occhi di serpente”) e il 12, che hanno entrambe probabilità 1/36.

Possiamo ora risolvere il problema del cavaliere de Meré. Per calcolare la probabilità di ottenere almeno un 6 lanciando quattro volte un dado, cominciamo col calcolarci la probabilità dell’evento contrario, che è non ottenere neanche un sei in quattro lanci, e poi sfruttiamo la relazione fra le probabilità di eventi contrari. Otteniamo così:

Conclusione: è più facile, sebbene di poco, che esca almeno un 6 in quattro lanci di un dado, piuttosto che esca almeno un 12 in ventiquattro lanci di due dadi.

La “zara” è un gioco d’azzardo di origine araba, che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale.

Si giocava con tre dadi (“zahr” in arabo significa appunto “dado”) e per vincere occorreva totalizzare un punteggio dall’8 al 13: i punti inferiori o superiori erano considerati nulli (“zero” o “zara”). Il gioco è citato da Dante nei versi iniziali del VI canto del “Purgatorio” (il canto di Sordello da Goito e della celeberrima apostrofe all’Italia):

Quando si parte il gioco de la zara,
     colui che perde si riman dolente,
  repetendo le volte, e tristo impara;…

Attorno al 1630 alcuni gentiluomini fiorentini chiesero a Galileo come mai, giocando con tre dadi, la somma 10 apparisse più frequentemente che la somma 9, mentre tanto 9 quanto 10 si possono scomporre in sei modi diversi nella somma di tre numeri compresi tra 1 e 6:

9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3;

e

10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4.

Galileo fece loro giustamente osservare che, ad es. , la somma 1+2+6 può ottenersi in sei modi diversi, permutando i dadi che presentano quelle facce (3! = 6), che la somma 1+4+4 può presentarsi in tre modi diversi (permutazioni con ripetizione: 3!/2!1!=3 ) e la somma 3+3+3 in un sol modo. Fatto il conto si trova che dei 6³=216 casi possibili, 25 sono favorevoli alla somma 9, e 27 alla somma 10; le due probabilità sono dunque p₉=25/216 p₁₀=27/216 , d’accordo con l’esperienza.

Seguendo il metodo di Galileo, diventa facile calcolare il numero dei casi favorevoli, e quindi la probabilità, di tutte e sedici le “uscite”, quelle che Dante chiama “volte”. Mi limiterò pertanto a riportare i risultati:

Quindi le “volte” più probabili sono il 10 e l’11, che hanno probabilità 1/8; le meno probabili sono il 3 e il 18, che hanno probabilità 1/216; la probabilità (totale) che venga “zara” è la somma delle probabilità delle dieci “volte” considerate nulle:

p_z= 70/216≅32,41%

Per concludere con una battuta, mi permetto di sconsigliare la lettura di questo articolo a tutti quelli che la mattina, al bar, ordinano un cappuccino e (invece del cornetto) un “gratta e vinci”. Non si sa mai: potrebbero prendere anche il vizio di giocare a “zara”!

BIBLIOGRAFIA.

CASTELNUOVO, Calcolo delle probabilità. Vol. I. Zanichelli, Bologna, 1961.
LIPSCHUTZ, Calcolo delle probabilità. ETAS Libri, Milano, 1981.
LONGO, Elementi di calcolo delle probabilità. Boringhieri, Torino, 1962.
SIBIRANI, Calcolo delle probabilità. Hoepli, Milano, 1954.
SPIRITO, Matematica dell’incertezza. Tascabili Economici Newton, Milano, 1995.

NOTE

1. L’articolo di Domenico Bruno fu pubblicato nel Periodico di Matematiche 2/2014
2. Per il gioco della zara si veda anche: Biagio Scognamiglio, La poesia matematica della Divina Commedia
3.  Il quesito: «La “zara” è un gioco d’azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale – ne parla anche Dante nella Divina Commedia – e si giocava con tre dadi. Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10.» è nella traccia PNI/2014.
4. Si veda anche: Un’analisi dei quesiti di probabilità (Andrea Centomo, 2014) nella pagina: Elaborato di matematica e fisica