Un quesito della maturità di dieci anni fa: il minimo di una funzione quadratica. Dalla derivata alla statistica: è la media aritmetica il punto di minimo
Nel 2015, alla sessione ordinaria della maturità scientifica, fu proposto il seguente quesito:
Sia \( f \) la funzione, definita per tutti gli \( x \) reali, da
\[
f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2+(x-4)^2+(x-5)^2.
\] Determinare il minimo di \( f \).
La via diretta
La derivata prima è
\[
f'(x)=2\big[(x-1)+(x-2)+(x-3)+(x-4)+(x-5)\big]=10x-30,
\]
da cui \( f'(x)=0 \iff x=3 \).
Essendo \( f''(x)=10>0 \), si ha che il minimo cade in \( x=3 \).
Il valore corrispondente è
\[
f(3)=(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2=10.
\]
Perché proprio la media?
In generale, per numeri reali fissati \( a_1,\dots,a_n \):
\[
f(x)=\sum_{i=1}^n (x-a_i)^2
\]
raggiunge il minimo quando \( x \) è la media aritmetica dei punti \( a_i \).
Sviluppando,
\[
f(x)=n x^2 - 2\!\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)x + \sum_{i=1}^n a_i^2,
\]
si riconosce una parabola con vertice in
\[
x=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}.
\]
Quattro vie alternative
1) Completamento del quadrato (media + varianza)
Introduciamo la media:
\[
\bar a=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i.
\]
Per ogni termine,
\[
x-a_i=(x-\bar a)+(\bar a-a_i).
\]
Allora
\[
(x-a_i)^2 = (x-\bar a)^2 + 2(x-\bar a)(\bar a-a_i) + (\bar a-a_i)^2.
\]
Sommando su tutti gli indici:
\[
\sum_{i=1}^n (x-a_i)^2 = \sum (x-\bar a)^2 + 2(x-\bar a)\sum(\bar a-a_i) + \sum (\bar a-a_i)^2.
\]
- \(\sum (x-\bar a)^2 = n(x-\bar a)^2\) perché è la stessa quantità ripetuta \(n\) volte.
- \(\sum(\bar a-a_i)=n\bar a-\sum a_i=0\) per definizione di media.
Quindi rimane:
\[
\sum_{i=1}^n (x-a_i)^2 = n(x-\bar a)^2 + \sum_{i=1}^n (\bar a-a_i)^2.
\]
Il secondo termine è costante (non dipende da \(x\)), mentre il primo è minimo per \(x=\bar a\).
Così si giustifica perché la funzione ha minimo nella media e il valore minimo coincide con la varianza moltiplicata per \(n\).
2) Equilibrio dei momenti
L’annullamento della derivata equivale a
\[
\sum_{i=1}^n(x-a_i)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\bar a,
\]
ossia il punto di equilibrio (momento nullo) degli scarti.
Nota (cos’è il “momento”): in fisica il momento misura la tendenza di una forza a produrre rotazione rispetto a un punto di riferimento.
Se immaginiamo i punti \(a_i\) come masse uguali disposte sulla retta, il punto \(x\) per cui la somma degli scarti \(\sum(x-a_i)\) è nulla è quello in cui le “spinte” verso sinistra e verso destra si bilanciano: è il baricentro del sistema.
Nel nostro caso, quel baricentro coincide con la media aritmetica \( \bar a \).
3) Accoppiamenti simmetrici
Per \( 1,2,3,4,5 \) accoppia:
\((x-1)^2+(x-5)^2\) e \((x-2)^2+(x-4)^2\), più \((x-3)^2\).
Ogni coppia ha minimo nel punto medio \(3\); aggiungendo \((x-3)^2\), la somma resta minima in \( x=3 \).
4) Convessità (Jensen)
La funzione \(g(t)=t^2\) è convessa, cioè il suo grafico sta sempre al di sotto della corda che unisce due punti.
Per le funzioni convesse vale la disuguaglianza di Jensen (dal matematico danese Johan Jensen, 1859–1925):
\[
g\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) \;\le\; \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(x_i).
\]
Applicandola a \(g(t)=t^2\) e agli scarti \(x-a_i\), otteniamo
\[
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x-a_i)^2 \;\ge\; (x-\bar a)^2.
\]
Moltiplicando per \(n\), risulta
\[
\sum_{i=1}^n (x-a_i)^2 \;\ge\; n(x-\bar a)^2,
\]
con uguaglianza solo per \(x=\bar a\).
Ecco perché il minimo della funzione cade proprio nella media aritmetica.
Il grafico e la forma esplicita
Nel caso del quesito:
\[
f(x)=5(x-3)^2+10,
\]
così il minimo è visibile come termine costante \(10\) conseguito in \(x=3\).
Commento didattico
- La media aritmetica emerge come soluzione di un problema di ottimizzazione.
- Si collega l’analisi alla statistica (la media minimizza la somma dei quadrati degli scarti).
- Più percorsi risolutivi rinforzano concetti chiave: derivate, vertice di parabola, completamento del quadrato, simmetrie, convessità.
Questa nota è stata elaborata con l'assistenza di ChatGPT a cui si deve anche la stesura del paragrafo che segue.
Una generalizzazione: dalla somma dei quadrati ad altre potenze
Il nostro esercizio riguardava la somma dei quadrati degli scarti. Ma cosa accade se si cambia l’esponente?
- Somma degli scarti assoluti (\(p=1\)):
\[
f(x)=\sum_{i=1}^n |x-a_i|
\] ha minimo nella mediana dei dati, cioè il valore centrale che divide la sequenza in due metà. - Somma dei quadrati (\(p=2\)):
\[
f(x)=\sum_{i=1}^n (x-a_i)^2
\] ha minimo nella media aritmetica, come visto nell’esercizio. - Somma dei cubi (\(p=3\)):
\[
f(x)=\sum_{i=1}^n |x-a_i|^3
\] resta una funzione convessa, quindi ammette un unico minimo, ma non esiste una formula semplice come per la media o la mediana: il punto ottimale è la soluzione dell’equazione
\[
\sum_{i=1}^n \mathrm{sgn}(x-a_i)(x-a_i)^2 = 0.
\]
In generale, variando l’esponente \(p\) nella somma
\[
f_p(x)=\sum_{i=1}^n |x-a_i|^p,
\]
il punto di minimo si sposta:
- per \(p=1\) domina la mediana;
- per \(p=2\) la media;
- per \(p>2\) emergono altri “centri” che dipendono dal valore di \(p\), sempre ottenuti come soluzione di un’equazione di equilibrio.
Così si comprende che la media aritmetica non è un concetto isolato, ma fa parte di una più ampia famiglia di criteri di minimizzazione.
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