Ancora sulla gara matematica Mathesis 1974. Dal raggio unitario alla formula generale: un laboratorio didattico con monete attuali di raggi anche diversi.
Il quesito 5 della gara matematica Mathesis del 1974 prende le mosse da una situazione molto semplice: tre monete uguali, disposte su un piano in modo che ciascuna tocchi le altre due. Fra esse rimane racchiusa una piccola regione, delimitata da tre archi di circonferenza, della quale si chiede di calcolare l’area.
È un problema breve, concreto e visivamente immediato. La sua soluzione richiede però di riconoscere la figura formata dai centri delle monete, di scomporre opportunamente le aree e di distinguere il triangolo rettilineo da quello curvilineo. Il quesito propone inoltre una generalizzazione tutt’altro che banale: che cosa accade se le tre monete hanno raggi diversi?
Il testo del quesito
Disposte tre monete da 100 lire in modo da toccarsi (come in figura), calcolare l’area del triangolo curvilineo tra esse racchiuso. Per semplicità, considerare \(r=1\) il raggio delle monete.
Generalizzazione. Stesso problema supponendo che i
raggi delle monete siano tra loro diversi.
A più di mezzo secolo di distanza, le monete da 100 lire possono essere sostituite con quelle da 1 o 2 euro, trasformando il problema in un’attività laboratoriale ancora attuale.
Tre monete di raggio unitario
Indichiamo con \(O_1\), \(O_2\) e \(O_3\) i centri delle tre monete. Poiché le monete sono tangenti esternamente e ciascuna ha raggio \(1\), la distanza tra i centri di due monete tangenti è uguale alla somma dei loro raggi. Pertanto
\[
O_1O_2=O_2O_3=O_3O_1=2
\]
I tre centri sono dunque i vertici di un triangolo equilatero di lato \(2\).
La sua area è
\[
A_T=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=\sqrt{3}.
\]
All’interno di questo triangolo, ciascuna moneta determina un settore circolare il cui angolo al centro misura \(60^\circ\), ossia \[ \frac{\pi}{3} \]radianti.
L’area di ciascun settore è quindi
\[
A_S=
\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\frac{\pi}{3}
=\frac{\pi}{6}.
\]
I tre settori hanno complessivamente area
\[
3A_S=
3\cdot\frac{\pi}{6}
=\frac{\pi}{2}.
\]
Il triangolo curvilineo racchiuso fra le tre monete è la parte del triangolo equilatero non occupata dai tre settori. La sua area è pertanto
\[
\boxed{A=\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}}.
\]
Numericamente,
\[
A\approx 0{,}1613 unità quadrate.
\]
Tre monete uguali di raggio \(r\)
Il caso proposto dal quesito può essere immediatamente generalizzato supponendo che le tre monete abbiano un medesimo raggio \(r\).
Le distanze tra i loro centri sono tutte uguali a \(2r\); il triangolo dei centri è quindi ancora equilatero e ha lato \(2r\).
La sua area è
\[
A_T=
\frac{\sqrt{3}}{4}(2r)^2
=\sqrt{3}\,r^2.
\]
Ciascuno dei tre settori ha raggio \(r\) e angolo al centro \(\frac{\pi}{3}\). La sua area è
\[
A_S=
\frac{1}{2}r^2\frac{\pi}{3}
=\frac{\pi r^2}{6}.
\]
L’area complessiva dei tre settori è dunque
\[
3A_S=\frac{\pi r^2}{2}.
\]
Sottraendo questa quantità dall’area del triangolo equilatero, si ottiene
\[
A=\sqrt{3}\,r^2-\frac{\pi r^2}{2},
\]
ossia
\[
\boxed{
A=\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}\right)r^2
}.
\]
La formula mostra che tutte le configurazioni ottenute con tre monete uguali sono simili e che l’area della regione racchiusa varia proporzionalmente al quadrato del raggio.
Se
\[
A_1=\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}
\]
è l’area corrispondente al raggio unitario, per un raggio qualsiasi risulta
\[
\boxed{A_r=r^2A_1}.
\]
Raddoppiando il raggio, quindi, l’area non raddoppia, ma diventa quattro volte più grande; triplicandolo, diventa nove volte più grande.
Dalle 100 lire alle monete in euro
Le monete da 100 lire non sono più in circolazione, ma il problema può essere facilmente riproposto utilizzando tre monete da 1 euro oppure tre monete da 2 euro.
Una moneta da 1 euro ha diametro
\[
23{,}25\ \mathrm{mm}
\]
e quindi raggio
\[
r=11{,}625\ \mathrm{mm}.
\]
Applicando la formula generale, si ottiene
\[
A=
\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}\right)(11{,}625)^2,
\]
da cui
\[
\boxed{A\approx 21{,}79\ \mathrm{mm}^2}.
\]
Una moneta da 2 euro ha invece diametro
\[
25{,}75\ \mathrm{mm}
\]
e raggio
\[
r=12{,}875\ \mathrm{mm}.
\]
In questo caso
\[
A=
\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}\right)(12{,}875)^2,
\]
e pertanto
\[
\boxed{A\approx 26{,}73\ \mathrm{mm}^2}.
\]
I diametri utilizzati sono quelli indicati nelle specifiche ufficiali della Banca centrale europea
L’attualizzazione del problema non ne modifica dunque la struttura matematica. Cambia soltanto la scala della figura e, di conseguenza, l’area cercata.
Tre monete di raggi diversi: dalla formula generale alle monete attuali
Il quesito non si limita al caso delle tre monete uguali, ma domanda che cosa accada quando i loro raggi siano diversi.
Indichiamo tali raggi con
\[
r_1,\qquad r_2,\qquad r_3
\]
e con \(O_1\), \(O_2\) e \(O_3\) i rispettivi centri.
Poiché le monete sono tangenti esternamente a due a due, le distanze fra i centri sono uguali alle somme dei raggi corrispondenti:
\[
O_1O_2=r_1+r_2,\qquad
O_2O_3=r_2+r_3,\qquad
O_3O_1=r_3+r_1.
\]
Il triangolo dei centri ha dunque lati
\[
r_1+r_2,\qquad r_2+r_3,\qquad r_3+r_1
\]
e semiperimetro
\[
s=
\frac{(r_1+r_2)+(r_2+r_3)+(r_3+r_1)}{2}
=r_1+r_2+r_3.
\]
Applicando la formula di Erone, la sua area \(\Delta\) è
\[
\Delta=
\sqrt{
s\,[s-(r_1+r_2)]\,[s-(r_2+r_3)]\,[s-(r_3+r_1)]
}.
\]
Poiché
\[
s-(r_1+r_2)=r_3,\qquad
s-(r_2+r_3)=r_1,\qquad
s-(r_3+r_1)=r_2,
\]
si ottiene
\[
\boxed{
\Delta=
\sqrt{r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3)}
}.
\]
Indichiamo ora con \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) e \(\alpha_3\), espressi in radianti, gli angoli interni del triangolo aventi vertici rispettivamente nei centri \(O_1\), \(O_2\) e \(O_3\).
I tre settori circolari contenuti nel triangolo hanno aree
\[
\frac12r_1^2\alpha_1,\qquad
\frac12r_2^2\alpha_2,\qquad
\frac12r_3^2\alpha_3.
\]
L’area del triangolo curvilineo racchiuso fra le tre monete è pertanto
\[
\boxed{
A=
\Delta-
\frac12
\left(
r_1^2\alpha_1+
r_2^2\alpha_2+
r_3^2\alpha_3
\right)
},
\]
dove
\[
\Delta=
\sqrt{r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3)}.
\]
Gli angoli possono essere determinati mediante il teorema del coseno. Per esempio,
\[
\cos\alpha_1=
\frac{
(r_1+r_2)^2+(r_1+r_3)^2-(r_2+r_3)^2
}{
2(r_1+r_2)(r_1+r_3)
}.
\]
Relazioni analoghe permettono di calcolare \(\alpha_2\) e \(\alpha_3\).
Se i tre raggi sono uguali, il triangolo dei centri è equilatero; se due raggi sono uguali e il terzo è diverso, è isoscele; se, infine, i raggi sono distinti a due a due, il triangolo è scaleno.
Un esempio con tre monete attuali
La formula generale può essere applicata concretamente utilizzando tre monete attuali di taglio diverso: una moneta da 2 euro, una da 1 euro e una da 10 centesimi.
I loro raggi misurano rispettivamente
\[
r_1=12{,}875\ \mathrm{mm},\qquad
r_2=11{,}625\ \mathrm{mm},\qquad
r_3=9{,}875\ \mathrm{mm}.
\]
Disponendo le tre monete in modo che siano tangenti esternamente a due a due, i lati del triangolo dei centri risultano:
\[
r_1+r_2=24{,}50\ \mathrm{mm},
\]
\[
r_2+r_3=21{,}50\ \mathrm{mm},
\]
\[
r_3+r_1=22{,}75\ \mathrm{mm}.
\]
Poiché i tre lati hanno misure differenti, il triangolo dei centri è scaleno.
La sua area è
\[
\Delta=
\sqrt{
(12{,}875)(11{,}625)(9{,}875)
(12{,}875+11{,}625+9{,}875)
},
\]
da cui
\[
\Delta\approx225{,}40\ \mathrm{mm}^2.
\]
Applicando il teorema del coseno si ottengono, in radianti, i tre angoli:
\[
\alpha_1\approx0{,}9421,\qquad
\alpha_2\approx1{,}0271,\qquad
\alpha_3\approx1{,}1723.
\]
Come verifica, la loro somma è, a meno degli arrotondamenti,
\[
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=\pi.
\]
L’area della regione curvilinea racchiusa fra le tre monete è quindi
\[
A=
\Delta-
\frac12
\left(
r_1^2\alpha_1+
r_2^2\alpha_2+
r_3^2\alpha_3
\right),
\]
e, sostituendo i valori numerici, si ricava
\[
\boxed{A\approx20{,}75\ \mathrm{mm}^2}.
\]
Questo esempio realizza concretamente la generalizzazione proposta nel quesito del 1974. La perdita della simmetria modifica sia il triangolo dei centri, che da equilatero diventa scaleno, sia i tre settori circolari, differenti per raggio e per angolo al centro.
Monete e matematica ricreativa
Il ricorso alle monete colloca il quesito del 1974 in una lunga tradizione di matematica ricreativa, nella quale oggetti comuni — monete, fiammiferi, carte da gioco, scacchiere — diventano strumenti per formulare problemi capaci di mettere in moto idee matematiche tutt’altro che elementari.
Martin Gardner (1914-2010)
Le monete, in particolare, si prestano a essere spostate, accostate e disposte secondo configurazioni diverse; nello stesso tempo, la loro forma circolare conduce naturalmente a problemi di tangenza, simmetria, impacchettamento e misura delle aree. Martin Gardner, che contribuì più di ogni altro a diffondere nel Novecento il gusto per la matematica ricreativa, dedicò una delle sue celebri rubriche alla «numismatica ricreativa» e un’altra ai molteplici problemi generati da circonferenze tangenti.
Anche il quesito Mathesis appartiene a questa tradizione: una disposizione che può essere realizzata in pochi secondi sopra un banco conduce dal riconoscimento di un triangolo equilatero alla similitudine, dalla formula di Erone al teorema del coseno. È proprio questo passaggio dalla semplicità materiale alla ricchezza matematica a rendere tali problemi particolarmente efficaci anche sul piano didattico.
Un possibile sviluppo didattico
Il problema si presta a essere affrontato in classe per livelli successivi.
Si può cominciare disponendo materialmente tre monete uguali in modo che ciascuna tocchi le altre due e chiedendo agli studenti quale figura formino i loro centri. Dopo aver riconosciuto il triangolo equilatero, si può passare al calcolo dell’area della regione curvilinea.
La formula
\[
A=\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}\right)r^2
\]
permette poi di studiare la dipendenza dell’area dal raggio e di richiamare il principio secondo il quale le aree di figure simili stanno fra loro come i quadrati delle corrispondenti lunghezze.
L’uso di monete da 1 e 2 euro consente anche un confronto fra previsione teorica e misurazione sperimentale. Infine, l’accostamento di tre monete di taglio diverso introduce naturalmente il problema generale e mostra quanto la perdita della simmetria renda più articolata la soluzione.
In poche righe, il quesito del 1974 mette così in relazione geometria piana, circonferenze tangenti, aree di settori circolari, similitudine, formula di Erone e teorema del coseno. Un piccolo problema sulle monete si trasforma, ancora una volta, in un itinerario matematico a tutto tondo.
COMMENTS