L’indovinello più vecchio del mondo

Dalle sette case del papiro di Rhind al paesotto di nonno Sergio: un gioco matematico che attraversa i millenni e si rinnova per i nipotini.

Molti problemi di matematica, proposti in epoche e culture differenti, sono stati presentati in forme diverse e a volte in maniera dilettevole e curiosa. Ben noto è il classico indovinello ispirato a quello inglese di St. Ives, nella forma riadattata e riprodotta nella prima immagine che forse ricordate, perché è diventata una delle filastrocche-indovinello più famose e antiche anche della nostra tradizione, che trovate ben documentata al quadro 10 del volume Tre in Uno di Consolato Pellegrino e Luciana Zuccheri. Da com’è presentata sembra voler comportare il calcolo della somma dei termini di una progressione geometrica (qui di ragione \(7\)). \(\)

Oltre a Camogli, esistono poi innumerevoli versioni dialettali e locali adattate per far rima con città diverse (così in Italia, Francia, Germania e Spagna): cambiano i protagonisti mantenendo però l’inganno e quella progressione del \(7\).

Ad esempio, è stata ripresa anche nella serie Die Hard – Duri a morire: «Mentre andavo nelle Ardenne vidi un uomo e sette donne, ogni donna ha sette sacche, ogni sacca sette gatte, ogni gatta sette figli; gattini gatte sacche donne, quanti andavano nelle Ardenne?». La soluzione è ovviamente \(1\) (solo la persona che racconta la storiella). Nella versione in lingua originale invece citano proprio la filastrocca inglese: «As I was going to St. Ives…».

Qui mi sono proposto di dare una versione per i miei nipotini di 4 anni (Dora e Pietro), ai quali le potenze di sette risultano ovviamente troppo complesse. Si può mantenere intatto lo spirito dell’indovinello (il “trucco” di chi sta andando dove) semplificando i numeri e puntando anche di più sull’immagine visiva. Ecco una versione assai più immediata e giocosa, che mi pare perfetta per quell’età e che ho riprodotto nell’immagine successiva:

Sulla strada che va al paesotto,
ho incontrato un giovanotto,
che portava un grosso gatto,
dentro il cesto facea fagotto.
Tra me, il gatto e il giovanotto…
chi andava al paesotto?

La soluzione: «Solo io! (Il giovanotto e il gatto venivano dalla parte opposta!)».

A quell’età, l’effetto sorpresa di scoprire che la risposta non è “tutti” o “tre” ma “solo tu” li diverte tantissimo. Diventa solo un piccolo gioco di attenzione in cui loro stessi sono i protagonisti che camminano verso quel paesotto. Se conoscete altri indovinelli del genere o magari ne inventate di diversi, potete riportarceli che li mettiamo nel conto!

L’origine di tutti questi indovinelli

Tutti questi indovinelli si ricollegano all’indovinello più vecchio del mondo, che dovrebbe essere il famoso Problema 79 del Papiro di Rhind: lo scriba Ahmes, con le sue 7 case, 49 gatti, 343 topi, 2401 spighe e 16807 hekat di grano, ha inconsapevolmente dato il via a una reazione a catena che attraversa millenni, passando per quello di St. Ives fino ad arrivare al mio paesotto.

Il Papiro di Rhind, il più esteso papiro egizio di argomento matematico giunto fino ai nostri giorni, prende il nome da un antiquario, l’egittologo scozzese Henry Rhind, che lo acquistò nel 1858 a Luxor, in Egitto. Risale al 1650 a.C. circa, periodo in cui lo scriba Ahmes lo trascrisse da un papiro precedente del 1850–1800 a.C. Il papiro, lungo circa 5 metri e alto 70 cm, contiene tabelle di frazioni e 84 problemi aritmetici, algebrici e geometrici nonché procedimenti di operazioni, calcoli di medie ed anche un metodo di risoluzione di un’equazione di primo grado.

Bisogna però chiarire che la filastrocca nel papiro non c’è. Ci sono invece numeri e calcoli accompagnati da indicazioni di difficile interpretazione che portano a domandarsi come mai, tra tanti argomenti matematici seri, si trovi in un angolo quella che venne vista come la più antica filastrocca numerica che si conosca. Filastrocca che potremmo ricostruire più o meno così:

In una proprietà ci sono 7 case.
In ogni casa ci sono 7 gatti.
Ogni gatto acchiappa 7 topi.
Ogni topo mangia 7 spighe.
Ogni spiga dà 7 heqat di grano.
Quante cose ci sono in tutto in questa filastrocca?

L’ipotesi della filastrocca fu avanzata già nel 1880 da Moritz Cantor (da molti considerato come il vero fondatore della storia della matematica) che, nell’illustrare gli aspetti scientifici del papiro, vi ravvisò una stretta analogia tra i calcoli presenti nel problema 79 e quelli rilevati in un problema medievale che coinvolgeva la somma di sei termini (non cinque) in progressione geometrica.

Tale filastrocca pare strutturata apposta per far ragionare astrattamente su come effettuare un calcolo, quasi si trattasse di una lezione di matematica vera e propria, e la forma dell’indovinello fa pensare che il quesito fosse destinato ai giovani studenti, come afferma Carl Benjamin Boyer.

Non si tratta, dunque, di qualcosa di inutile ma, al contrario, della ricerca di un procedimento logico-matematico atto a determinare una risposta. Tradotta in termini matematici, la filastrocca è una progressione geometrica di ragione \(7\), con un totale alla fine calcolato così:

Il totale è quindi di \(19607\) cose^(**).

(*) L’heqat era la misura di capacità di circa 4,785 litri.
(**) Le “cose” sono gli oggetti, gli animali e le misure, esclusa la proprietà.

Questo celebre Problema 79 del Papiro di Rhind è considerato il capostipite assoluto di quegli indovinelli. Come si è visto, calcolava la somma di potenze di \(7\) elencando 7 case, 49 gatti, 343 topi, 2401 spighe di farro e 16807 misure di grano, da cui il concetto di progressione geometrica associata a un viaggio o a un qualche inventario che, attraverso le epoche, ha dato vita a diverse filiazioni illustri.

La versione di Fibonacci (1202): nel suo Liber Abaci, Leonardo Fibonacci propose un problema su sette vecchie in viaggio verso Roma. Ognuna aveva 7 muli, ogni mulo 7 sacchi, ogni sacco 7 pagnotte, ogni pagnotta 7 coltelli e ogni coltello 7 foderi.

La filastrocca inglese di St. Ives (XVIII secolo) citata, As I was going to St. Ives…, la più nota nel mondo anglosassone, ha codificato il tranello logico-direzionale (il narratore va, gli altri vengono) unendolo al calcolo matematico. E adesso vorrete sapere quante filastrocche sono derivate da quell’indovinello?

Dare un numero esatto pare praticamente impossibile! Trattandosi di una struttura matematica affascinante che si è fusa con la tradizione orale, nel corso di oltre 3500 anni si sono generate innumerevoli varianti in tutto il mondo.

L’ultima variante dell’indovinello non c’è

Perché, se l’obiettivo diventa quello di vedere se c’è un limite superiore al numero di varianti, porta a dimostrare che non si può porre il tetto alla fantasia espressiva che riguarda l’indovinello.

Per dimostrare che non esiste alcun limite superiore (o tetto) a quanto è derivabile da questo indovinello, possiamo affidarci a due semplici dimostrazioni: una strettamente matematica e una combinatorio-linguistica.

1. La dimostrazione matematica (la progressione geometrica)

La struttura profonda di questa famiglia di indovinelli (nella sua forma completa) si basa su una progressione geometrica finita del tipo:

Nel papiro di Rhind o in St. Ives, la ragione \(r\) è \(7\). Tuttavia, nulla ci vieta di costruire una variante narrativa in cui il giovanotto porta 3 cesti, ciascuno con 3 gatti, ciascuno con 3 topolini, oppure 10 bauli, con 10 scatole, e così via. Poiché la ragione \(r\) e il numero di iterazioni \(n\) possono assumere un qualsiasi valore nell’insieme dei numeri naturali, e poiché l’insieme dei naturali è infinito, le varianti strutturali dell’indovinello sono numerabilmente infinite (cardinalità \(\aleph_0\)).

2. La dimostrazione combinatoria e semantica (l’esplosione linguistica)

Anche se decidessimo di fissare la matematica (ad esempio, limitandoci a un solo giovanotto, un solo cesto e un solo gatto, come nella mia versione), la variabilità linguistica rimuove ogni limite superiore. Ogni elemento narrativo è una variabile che attinge a insiemi aperti:

• Destinazione: paesotto, città, castello, mercato, fiera, locanda, …
• Soggetto: giovanotto, vecchietta, viandante, cavaliere, mercante, …
• Contenitore: cesto, sacco, fagotto, baule, valigia, gerla, …
• Contenuto: gatto, cane, gallina, moneta, mela, formaggio, …

Se moltiplichiamo le scelte lessicali per i sinonimi, per le diverse lingue del mondo, per i dialetti e per tutte le possibili combinazioni in rima (che mi vengono così bene), otteniamo un’esplosione combinatoria. Se inoltre consideriamo la possibilità di aggiungere aggettivi in modo ricorsivo (un “grosso” gatto, un “grosso e pigro” gatto, ecc.), la lunghezza del testo non ha più un limite superiore rigido, rendendo le varianti testuali letteralmente infinite.

Dunque, sia che guardiamo la cosa dal punto di vista della struttura numerica, sia da quello della sintassi e del vocabolario, l’indovinello è un sistema aperto. La fantasia umana, in questo caso, si comporta esattamente come la successione dei numeri interi: per quanto grande sia il numero di varianti finora inventate, basterà sempre aggiungere un “\(+1\)” — un nuovo personaggio, un nuovo oggetto o una nuova rima — per generare la variante successiva.

Infatti, se contiamo ogni singola variazione popolare, ogni traduzione e ogni libero adattamento letterario (o anche quelli inventati al momento per i bambini, come il “giovanotto” che va al “paesotto”), il numero delle filastrocche derivate è virtualmente infinito.

È un esempio formidabile di come un esercizio algebrico dell’antichità si sia trasformato in un gioco logico universale che perdura nei secoli da millenni.

Riferimenti

• Papiro di Rhind
• 7 case, 7 gatti, 7 topi… una filastrocca
• Video su Facebook
• Moritz Cantor
• Aleph (cardinalità)

Bibliografia

• Carl Benjamin Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1990.
• Consolato Pellegrino e Luciana Zuccheri, Tre in Uno. Piccola enciclopedia della matematica intrigante, Athena audiovisuals, 2008.