La grande scommessa di Giuseppe Peano: affidare il proprio monumento matematico a una lingua creata per liberare la scienza dalle frontiere nazionali.
Nel precedente articolo La preziosa biografia di π nel Formulario di Peano abbiamo aperto sei pagine del Formulario mathematico di Giuseppe Peano e vi abbiamo trovato una preziosa biografia di \(\pi\): definizioni, approssimazioni, formule, nomi e date capaci di ricostruire, in uno spazio sorprendentemente breve, una parte considerevole della storia della matematica.
La traduzione di quelle pagine ha però fatto emergere una domanda più generale. Se il Formulario contiene una tale ricchezza, perché è oggi così poco letto? Perché un’opera tanto vasta e originale è rimasta ai margini della memoria matematica, conosciuta più per la notazione simbolica di Peano che per il suo contenuto complessivo?
Una possibile risposta conduce al paradosso che accompagna l’intera impresa: Peano affidò la forma definitiva del Formulario a due strumenti concepiti per renderlo universalmente accessibile — la scrittura ideografica e il latino sine flexione — ma quegli stessi strumenti potrebbero avere contribuito ad allontanarlo dai suoi lettori.
Nel 1960 le Edizioni Cremonese pubblicarono una riproduzione in facsimile della quinta e definitiva edizione del Formulario, uscita a Torino nel 1908. Il volume era accompagnato da un’ampia introduzione di Ugo Cassina, matematico appartenente alla scuola di Peano e impegnato nello studio e nella conservazione della sua opera.
Cassina non scrive come un osservatore distaccato. Chiama Peano «il Maestro», con la maiuscola, e manifesta apertamente la propria ammirazione. I suoi giudizi devono quindi essere considerati quelli di un discepolo e continuatore della scuola peaniana. Proprio per questo, tuttavia, la sua testimonianza è preziosa: permette di comprendere dall’interno quale fosse la portata attribuita al progetto.
Cassina richiama anzitutto il giudizio espresso nel 1932 dal matematico polacco Edward Stamm, secondo il quale il Formulario sarebbe «un’opera classica nella letteratura matematica di ogni secolo» e avrebbe un «valore inestimabile per gli studiosi di matematica». Egli stesso lo aveva già definito:
«una miniera inesauribile di ogni scienza».
Dopo averne nuovamente approfondito lo studio, Cassina dichiara di essere rimasto «preso dallo stupore» davanti all’uomo che era riuscito a condensare magistralmente, in un libro di modesta mole, una parte tanto vasta del sapere matematico.
L’enfasi è quella del discepolo, ma i dati sui quali si fonda sono impressionanti.
Nelle 463 pagine della quinta edizione trovano posto logica matematica, aritmetica, algebra, teoria delle equazioni, geometria elementare, calcolo geometrico e vettoriale, calcolo differenziale e integrale, elementi di probabilità, calcolo delle variazioni, equazioni differenziali, geometria differenziale, cinematica e meccanica razionale.
Le proposizioni sono circa 4200. Ciascuna è formulata simbolicamente, con l’indicazione delle condizioni di validità e del significato delle lettere impiegate.
Per la maggior parte vengono citate le fonti e spesso sono riportati i passi originali degli autori ai quali i risultati vengono attribuiti. I matematici ricordati sono circa trecento: Eulero compare 126 volte, Euclide e Cauchy 69. Sono inoltre presenti notizie biografiche e bibliografiche, confronti fra notazioni diverse e ricostruzioni storiche.
Cassina sintetizza questo aspetto con una frase importante:
«Dei concetti fondamentali è fatta la storia e la critica».
Il Formulario è quindi anche una storia della matematica, ma una storia costruita in modo diverso da quello consueto. Non procede attraverso un racconto continuo: si deposita nelle formule, nelle attribuzioni, nelle citazioni, nelle date e nei passi originali.
Le pagine dedicate a \(\pi\) non costituiscono un’eccezione. Sono un campione rappresentativo dell’intera opera: mostrano come Peano raccolga la matematica, ne registri la genealogia e la disponga secondo relazioni concettuali e logiche.
Il Formulario, avverte Cassina, non è soltanto un’enciclopedia.
Le proposizioni sono ordinate sistematicamente e molte vengono dimostrate ricorrendo a quelle che le precedono. Dal volume potrebbero quindi essere ricavati veri e propri trattati autonomi di aritmetica, algebra, geometria e analisi.
L’opera contiene inoltre risultati e rielaborazioni originali. Cassina richiama, fra gli altri, il trattato di calcolo differenziale e integrale, che in meno di duecento pagine muove dai fondamenti e giunge alle equazioni differenziali, al calcolo delle variazioni e alle applicazioni geometriche.
La quinta edizione aggiunge dimostrazioni, amplia le parti dedicate alle serie e alle funzioni speciali, riorganizza intere teorie e conserva osservazioni storiche, confronti critici ed esercizi. Dove nella quarta edizione si trovava ancora, secondo Cassina, soprattutto una miscellanea di formule con poche dimostrazioni, nella quinta compaiono trattazioni organiche di calcolo differenziale e integrale.
Cassina può così riassumere la natura dell’opera con una formula particolarmente efficace:
«Enciclopedia e trattato, ma anche esposizione di cose nuove».
La quinta edizione non è quindi una semplice ristampa né la traduzione di un’opera già conclusa. È la forma più ricca, sistematica e matematicamente matura del progetto.
Come fu possibile concentrare un materiale tanto vasto in un volume relativamente breve?
La risposta di Cassina è netta: grazie alla scrittura ideografica adottata da Peano. Le proposizioni e le dimostrazioni vengono trascritte integralmente in forma simbolica. I segni non sono considerati semplici abbreviazioni di parole, ma «ideogrammi», ciascuno dotato di un significato logico o matematico determinato e, almeno nelle intenzioni, invariabile.
Il simbolismo avrebbe dovuto eliminare le ambiguità delle lingue naturali. Significati diversi affidati nel linguaggio comune alla stessa parola — per esempio al verbo «essere» o al termine «limite» — venivano espressi mediante segni distinti.
I simboli specificamente logici di uso più frequente erano meno di venti; l’intero apparato matematico del Formulario ne comprendeva 209. Diciannove erano i comuni segni dell’aritmetica e dell’algebra; gli altri permettevano di sostituire migliaia di parole e locuzioni tecniche.
Non si trattava soltanto di risparmiare spazio. Peano intendeva costruire una lingua rigorosa della matematica, indipendente dalle lingue nazionali, priva di sinonimie e omonimie e comprensibile nello stesso modo da studiosi di paesi differenti.
Una parte di quella scommessa è stata vinta. Diversi simboli introdotti o sistematizzati dalla scuola di Peano sono entrati stabilmente nella scrittura matematica. Ma il Formulario non si limita ai pochi segni divenuti familiari: chiede al lettore di padroneggiare un intero codice.
Qui appare il primo paradosso. Dopo che il codice è stato appreso, la scrittura ideografica raggiunge una capacità di sintesi straordinaria. Prima che venga appreso, il testo appare invece chiuso, compatto, quasi impenetrabile. Lo strumento che rese possibile la concentrazione del sapere innalzò contemporaneamente la soglia necessaria per accedervi.
La storia editoriale impone però una distinzione essenziale. Il Formulario non fu sempre scritto in latino sine flexione.
Il progetto, avviato con alcuni fascicoli nel 1892, attraversò cinque edizioni pubblicate fra il 1895 e il 1908. Le spiegazioni e i commenti delle prime quattro erano in francese. Soltanto la quinta e definitiva edizione venne redatta in latino sine flexione.
Il simbolismo ideografico precede dunque l’esperimento linguistico. Nelle prime quattro edizioni esso è accompagnato dal francese; nella quinta viene associato a una lingua nuova, elaborata da Peano a partire dal 1903.
Il latino sine flexione si ottiene, secondo la ricostruzione di Cassina, sopprimendo dal latino scolastico declinazioni e coniugazioni e riconducendo ogni parola al tema nominale o verbale. Gli elementi grammaticali non necessari vengono soppressi, mentre l’intelligibilità dovrebbe essere garantita dal lessico latino, già largamente presente nelle lingue europee e, soprattutto, nella terminologia scientifica.
Peano ne offrì una dimostrazione in una celebre memoria del 1903: cominciò a scrivere in latino tradizionale e, sopprimendo progressivamente ciò che considerava superfluo dal punto di vista razionale, giunse nel corso dello stesso testo al latino senza flessioni.
L’idea di una semplificazione razionale del latino era già apparsa in Leibniz. Cassina attribuisce però a Peano il merito di averla sviluppata e di averle dato per primo una forma scientifica e una realizzazione pratica.
Il passaggio decisivo dell’introduzione di Cassina riguarda la ragione per cui Peano adottò la nuova lingua nel quinto tomo.
Dopo aver elaborato il latino sine flexione, egli volle dimostrarne concretamente l’utilità nella redazione di lavori scientifici destinati a un pubblico internazionale. Decise quindi di impiegarlo sistematicamente nella nuova edizione del Formulario.
Non si trattò, dunque, della semplice preferenza personale di un autore. Peano scelse la propria opera maggiore come banco di prova della lingua che aveva inventato.
Mentre accresceva e perfezionava il contenuto matematico, tradusse in latino sine flexione i commenti, le notizie storiche e le versioni discorsive delle proposizioni contenute nelle edizioni precedenti. Nella stessa lingua scrisse le parti relative ai nuovi risultati. Studiò glottologia ed etimologia, preparò schede lessicali e costruì il vocabolario aggiunto al quinto tomo, che Cassina definisce «una parte nuova e preziosa» dell’opera.
La prima parte della quinta edizione, comprendente le pagine 1-272, apparve nel 1905; la seconda, con le pagine 273-463, nel 1908. Nello stesso anno furono pubblicati la prefazione e il volume completo. Peano lavorò dunque simultaneamente, e fino all’ultimo, al perfezionamento matematico e alla trasformazione linguistica dell’opera.
La forma più compiuta del Formulario e l’esperimento del latino sine flexione divennero inseparabili. Fu una scelta perfettamente coerente con il progetto universalistico di Peano, ma anche una scommessa rischiosa: la fortuna del libro veniva affidata alla fortuna di una lingua che non possedeva ancora una comunità consolidata di lettori.
Dal latino sine flexione all’Interlingua
Cassina distingue il latino sine flexione dall’Interlingua promossa successivamente da Peano. Quest’ultima si fonda sul principio dell’internazionalità del vocabolario: vengono accolte parole comuni alle principali lingue europee o appartenenti alla terminologia scientifica internazionale.
Per la matematica e la logica, tuttavia, la differenza fra i due sistemi sarebbe minima. I vocabolari tecnici praticamente coincidono e le grammatiche sono entrambe quasi inesistenti. Anche il suffisso del plurale viene impiegato soltanto quando il numero non risulta già dal contesto.
L’ambizione si allarga: non più soltanto un latino privato delle flessioni, ma una lingua ausiliaria internazionale fondata sul patrimonio lessicale comune alla scienza e alle lingue europee.
Il progetto linguistico e quello matematico nascono così dalla medesima esigenza: separare il pensiero dalle accidentalità delle lingue particolari e affidarlo a segni e parole comprensibili indipendentemente dalla nazionalità di chi legge.
Il possibile prezzo della scommessa
Cassina non considera questa scelta un errore. Non registra proteste, difficoltà di lettura o conseguenze negative sulla diffusione del volume. Scrive dall’interno della scuola peaniana e presenta l’elaborazione della nuova lingua come un’altra manifestazione della «prodigiosa» attività del Maestro.
Non possiamo quindi ricavare dalle sue pagine la prova che il latino sine flexione abbia determinato la scarsa fortuna del Formulario. Possiamo però riconoscere il rischio implicito nella scelta.
Le prime quattro edizioni impiegavano il francese, una lingua effettivamente conosciuta da una parte considerevole della comunità scientifica europea. La quinta chiedeva invece ai lettori di affrontare contemporaneamente una notazione logica molto estesa e una lingua nuova.
Lo strumento destinato a eliminare la necessità della traduzione richiedeva preliminarmente di essere appreso. La lingua che avrebbe dovuto appartenere a tutti non apparteneva ancora pienamente a nessuno.
È possibile che alla limitata circolazione dell’opera abbiano contribuito anche altri fattori: l’estrema condensazione simbolica, la natura enciclopedica del progetto, la difficoltà di adoperarlo come un comune manuale, il rapido mutamento della logica e delle notazioni nel corso del Novecento. Sarebbe perciò semplicistico attribuire ogni responsabilità al latino sine flexione.
La domanda rimane tuttavia legittima: legando la forma definitiva della propria opera matematica alla sorte di un esperimento linguistico, Peano non finì per chiedere troppo ai suoi lettori?
La storia della matematica offre un confronto quasi speculare.
Nel 1637 Cartesio pubblicò in francese il Discours de la méthode, accompagnato dalla Dioptrique, dalle Météores e dalla Géométrie. La scelta della lingua volgare ampliava potenzialmente il pubblico oltre la cerchia tradizionale dei dotti, ma poteva limitare la circolazione dell’opera nella comunità scientifica europea, ancora largamente fondata sul latino.
Nel 1644 apparve la versione latina del Discours e di due dei saggi, con il titolo Specimina philosophiae. La Géométrie, esclusa da quella traduzione, fu resa in latino e commentata da Frans van Schooten nel 1649. Le edizioni successive, arricchite da spiegazioni ed esempi, contribuirono in modo decisivo a rendere comprensibile e a diffondere la geometria cartesiana presso la comunità matematica europea.
Non sarebbe corretto sostenere che l’opera di Cartesio fosse rimasta sconosciuta fino alla traduzione: il testo francese circolava già. Il latino ne ampliò tuttavia l’accessibilità internazionale e, nel caso della Géométrie, la traduzione fu accompagnata da un’opera di mediazione e commento.
Peano percorse una strada inversa. Dopo quattro edizioni in francese, abbandonò una lingua realmente diffusa nella comunità scientifica per affidare l’edizione definitiva a una lingua che doveva ancora conquistarsi i propri lettori.
Cartesio scrisse in una lingua nazionale e trovò successivamente traduttori e commentatori capaci di accrescere la circolazione della sua matematica. Peano volle eliminare la necessità stessa della traduzione, ma per farlo chiese alla comunità scientifica di adottare il nuovo linguaggio nel quale aveva racchiuso la forma più compiuta della propria opera.
Nel caso di Cartesio, la traduzione aprì ulteriormente il testo. Nel caso di Peano, la lingua universale potrebbe averlo richiuso.
Vi è qualcosa di profondamente coerente e insieme tragico nella scommessa di Peano.
La scrittura ideografica doveva liberare la matematica dall’ambiguità delle parole. Il latino sine flexione doveva liberare la comunicazione scientifica dalle frontiere linguistiche. Il Formulario doveva liberare il sapere dalla dispersione, raccogliendolo in una costruzione ordinata, rigorosa e accessibile agli studiosi di ogni paese.
Il progetto raggiunse una straordinaria capacità di concentrazione. In un solo volume Peano riunì migliaia di proposizioni, dimostrazioni, fonti, osservazioni storiche, confronti critici e risultati originali. Ma la stessa condensazione che rese possibile l’impresa contribuì forse a occultarne la ricchezza.
Per entrare nel Formulario il lettore deve prima attraversarne il linguaggio. Deve conoscere i simboli, comprenderne la sintassi, adattarsi a una prosa priva delle forme grammaticali abituali. Soltanto allora può scoprire ciò che si trova dietro quella soglia.
Il Formulario rimase così forse prigioniero non semplicemente del latino sine flexione, ma dell’intero sistema di comunicazione universale costruito per liberarlo.
Tornare oggi a quelle pagine, tradurle e riscriverne la notazione non significa correggere Peano né trasformarlo in un autore contemporaneo. Significa compiere quell’opera di mediazione che, in altri momenti della storia della matematica, ha permesso a testi difficili di raggiungere nuovi lettori.
La cassaforte può essere riaperta. E ciò che vi è custodito non appartiene soltanto alla storia della logica o delle lingue artificiali: è una parte preziosa della storia della matematica.
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