La preziosa biografia di π nel Formulario di Peano

L’intera esistenza matematica di \(\pi\) raccolta in sei pagine: un gioiello sottratto alla gelosa custodia del latino sine flexione.

Definizioni, approssimazioni, disuguaglianze, sviluppi in serie, prodotti infiniti, rappresentazioni analitiche, nomi e date compongono un ritratto di straordinaria ricchezza.
La narrazione comincia dalle più antiche approssimazioni del rapporto fra la circonferenza e il diametro: dal papiro egizio di Ahmes ai limiti stabiliti da Archimede, dai valori adottati da Tolomeo e Āryabhaṭa alle successive approssimazioni razionali e mediante radicali.

Prosegue con il calcolo delle cifre decimali, con i risultati sull’irrazionalità e sulla trascendenza di \(\pi\), per giungere alle sue molteplici apparizioni nell’analisi: nelle funzioni trigonometriche, nelle radici dell’unità, nelle serie di Leibniz ed Eulero, nel prodotto di Wallis, negli sviluppi in frazioni semplici e nei prodotti infiniti.

Ne risulta qualcosa di più di una rassegna di formule. Seguendo Peano, si vede \(\pi\) liberarsi progressivamente dalla figura del cerchio e assumere significati sempre nuovi in regioni diverse della matematica. La sua biografia finisce così per coincidere, almeno in parte, con la storia stessa della matematica.

A rendere ancora più singolari queste pagine è la lingua nella quale furono scritte. Peano aveva concepito il latino sine flexione come uno strumento internazionale, capace di superare le barriere linguistiche e di rendere universale la comunicazione scientifica. Eppure quella lingua, insieme all’estrema condensazione simbolica del Formulario, può avere contribuito a rendere l’opera progressivamente estranea ai suoi stessi lettori. Un paradosso sul quale converrà tornare; qui importa anzitutto riaprire quelle pagine e restituire loro leggibilità.

La versione proposta di seguito non è pertanto una semplice trascrizione, ma una traduzione ragionata. Il testo di Peano è stato reso in un italiano corrente, conservandone, per quanto possibile, la successione, il contenuto matematico e i riferimenti storici. La notazione simbolica, spesso estremamente condensata e in alcuni casi non più in uso, è stata riscritta nella forma oggi più consueta. Sono stati inoltre sciolti alcuni passaggi impliciti e aggiunti brevi chiarimenti, esplicitamente segnalati quando necessari alla comprensione.

Non si è voluto trasformare Peano in un autore contemporaneo né sostituire alla sua raccolta una diversa storia di \(\pi\). L’intento è più circoscritto: aprire la cassaforte del Formulario, estrarne il gioiello che Peano ha cesellato intorno a \(\pi\) e mostrarlo in tutta la sua raffinata fattura attraverso una lingua e una notazione accessibili al lettore di oggi.

\(\pi\)

Definizione del numero \(\pi\)

Il numero \(\pi/2\) può essere definito analiticamente come la più piccola radice positiva dell’equazione

\[
\cos x=0,
\]

ossia dell’equazione

\[
1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=0.
\]

Il numero \(\pi\) si presenta come il rapporto tra la circonferenza e il diametro. Il simbolo \(\pi\), introdotto da Jones e adottato da Eulero, è oggi di uso generale. Esso è la lettera iniziale della parola greca περίμετρος, “perimetro”.

Peano registra quindi le relazioni

\[
\cos\frac{\pi}{2}=0.
\]

Per

\[
0<x<\frac{\pi}{2}
\]

si ha

\[
\cos x>0,
\]

mentre, per

\[
0<x<\pi,
\]

si ha

\[
\sin x>0.
\]

Seguono inoltre le identità

\[
\sin\frac{\pi}{2}=1,
\]

\[
e^{\pi i/2}=i,
\qquad
e^{\pi i}=-1,
\qquad
e^{2\pi i}=1.
\]

L’approssimazione egizia

Nel papiro del matematico egizio Ahmes, risalente all’incirca al 2000 a.C., si trovano due procedimenti dai quali si ricava

\[
\frac{\pi}{4}\simeq\left(\frac89\right)^2.
\]

L’errore commesso è inferiore a \(10^{-2}\):

\[
\left|
\frac{\pi}{4}-\left(\frac89\right)^2
\right|<10^{-2}.
\]

Peano precisa che il papiro è composto dalle due righe da lui trascritte, nelle quali le cifre sono state riportate nella forma moderna. Aggiunge quindi l’interpretazione necessaria per comprenderne il significato.

Problema n. 41. Supponiamo che 9 sia il diametro di un cerchio. Lo si divide per 9 e si ottiene 1; si sottrae questa quantità dal diametro e si ottiene 8; si eleva 8 al quadrato e si ottiene, approssimativamente, l’area del cerchio:

\[
8^2=64.
\]

In notazione moderna, il procedimento equivale ad assumere

\[
A\simeq\left(\frac89d\right)^2.
\]

Poiché l’area di un cerchio di diametro \(d\) è

\[
A=\frac{\pi d^2}{4},
\]

ne risulta

\[
\frac{\pi}{4}\simeq\left(\frac89\right)^2,
\qquad
\pi\simeq\frac{256}{81}\simeq3{,}16049.
\]

Problema n. 42. Se 10 è il diametro del cerchio, lo si divide per 9 e si ottiene

\[
1+\frac19.
\]

Sottraendo questa quantità da 10 si ottiene

\[
8+\frac23+\frac16+\frac1{18},
\]

secondo il metodo egizio, nel quale ogni frazione con denominatore maggiore di 3 viene espressa come somma di frazioni aventi numeratore 1. Elevando questa quantità al quadrato si ottiene

\[
\left(8+\frac23+\frac16+\frac1{18}\right)^2
=
79+\frac1{108}+\frac1{324},
\]

frazione che esprime approssimativamente l’area del cerchio.

Anche questo procedimento conduce alla medesima approssimazione:

\[
\frac{\pi}{4}\simeq\left(\frac89\right)^2.
\]

Archimede

Archimede stabilì i celebri limiti

\[
3+\frac17>\pi>3+\frac{10}{71}.
\]

Peano riporta il passo greco tratto dalla proposizione 3 della Misura del cerchio e ne offre la versione nel proprio latino senza flessioni. Il passo può essere tradotto così:

Il perimetro di ogni cerchio è tre volte il diametro e lo supera per una quantità minore della settima parte del diametro, ma maggiore di dieci settantunesimi del diametro.

In termini decimali:

\[
3{,}142857\ldots>\pi>3{,}140845\ldots
\]

Tolomeo

Peano registra per Tolomeo l’approssimazione sessagesimale

\[
\pi\simeq
3+\frac8{60}+\frac{30}{60^2}.
\]

Poiché

\[
\frac8{60}+\frac{30}{3600}
=
\frac{17}{120},
\]

si ottiene

\[
\pi\simeq
3+\frac{17}{120}
=
\frac{377}{120}
=
3{,}141666\ldots
\]

Peano indica che l’errore è inferiore a \(60^{-2}\):

\[
\left|
\pi-
\left(
3+\frac8{60}+\frac{30}{60^2}
\right)
\right|
<
\frac1{60^2}.
\]

Āryabhaṭa

Peano riporta, nella traduzione francese di Rodet, la regola formulata dal matematico indiano Āryabhaṭa:

Aggiungete 4 a 100, moltiplicate per 8, aggiungete ancora 62000: ecco, per un diametro di due miriadi, ossia ventimila unità, il valore approssimativo della circonferenza del cerchio.

Il calcolo è

\[
(100+4)\cdot8+62000=62832.
\]

Pertanto

\[
\pi\simeq\frac{62832}{20000}=3{,}1416.
\]

L’errore è inferiore a \(10^{-5}\):

\[
\left|
\pi-\frac{62832}{20000}
\right|<10^{-5}.
\]

Altre approssimazioni razionali

Peano registra successivamente i limiti

\[
\frac{377}{120}>\pi>\frac{333}{106},
\]

accompagnandoli con un riferimento ad Adriaan Anthonisz.

Ricorda poi la celebre approssimazione attribuita ad Adriaan Metius, indicato nel testo come A. Metio:

\[
\pi\simeq\frac{355}{113}
=
3{,}141592920\ldots
\]

L’errore è inferiore a \(10^{-6}\):

\[
\left|
\pi-\frac{355}{113}
\right|<10^{-6}.
\]

Questa frazione fornisce correttamente le prime sei cifre decimali di \(\pi\).

Approssimazioni mediante radicali

Peano raccoglie infine diverse approssimazioni di \(\pi\) espresse mediante radicali, indicando per ciascuna l’ordine di grandezza dell’errore.

\[
\pi\simeq\sqrt2+\sqrt3,
\qquad
\left|
\pi-(\sqrt2+\sqrt3)
\right|
<5\cdot10^{-3}.
\]

\[
\pi\simeq
\sqrt{1+\sqrt6}
+
\sqrt{9-3\sqrt6},
\qquad
\left|
\pi-
\left(
\sqrt{1+\sqrt6}
+
\sqrt{9-3\sqrt6}
\right)
\right|
<10^{-3}.
\]

Quest’ultima formula è attribuita a Mascheroni.

\[
\pi\simeq
\frac95+\frac3{\sqrt5},
\qquad
\left|
\pi-
\left(
\frac95+\frac3{\sqrt5}
\right)
\right|
<10^{-4}.
\]

La formula è riportata da Viète.

\[
\pi\simeq
\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt3},
\qquad
\left|
\pi-
\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt3}
\right|
<7\cdot10^{-5}.
\]

La formula è attribuita a Kochański.

\[
\pi\simeq
\frac{13\sqrt{146}}{50},
\qquad
\left|
\pi-\frac{13\sqrt{146}}{50}
\right|
<10^{-6}.
\]

La formula è riportata da Specht.

\[
\pi\simeq
\frac{501+80\sqrt{10}}{240},
\qquad
\left|
\pi-
\frac{501+80\sqrt{10}}{240}
\right|
<10^{-6}.
\]

La formula è presente negli Annales de Gergonne.

Peano riporta infine l’approssimazione di George Peirce:

\[
\pi\simeq
4-2\sqrt2+\frac{2\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt6}{3},
\]

il cui errore è inferiore a \(2\cdot10^{-3}\):

\[
\left|
\pi-
\left(
4-2\sqrt2+\frac{2\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt6}{3}
\right)
\right|
<2\cdot10^{-3}.
\]

Il calcolo delle cifre decimali

Peano riporta lo sviluppo decimale di \(\pi\), proseguendolo per più di settecento cifre:

\[
\begin{aligned}
\pi={}&3{,}14159265358979323846264338327950288419716939937510\\
&58209749445923078164062862089986280348253421170679\\
&82148086513282306647093844609550582231725359408128\\
&\ldots
\end{aligned}
\]

Segue una rassegna dei risultati raggiunti nel calcolo delle cifre decimali di \(\pi\):

• François Viète, nel Canon mathematicus, Lutezia, 1579: 9 cifre;
• Adriaan van Roomen, nell’Idea mathematica, Anversa, 1613: 15 cifre;
• Ludolph van Ceulen, nel 1615: 32 cifre;
• Christoph Grienberger, negli Elementa trigonometrica, Roma, 1630: 39 cifre;
• Abraham Sharp, nel 1699: 71 cifre;
• John Machin, nel risultato pubblicato da William Jones nella Synopsis Palmariorum Matheseos del 1706, dove il numero viene indicato con \(\pi\): 100 cifre;
• Thomas Fantet de Lagny, nel 1719: 112 cifre;
• Georg Vega, nel Thesaurus logarithmorum del 1794: 136 cifre;
• Bernhard Friedrich Thibaut, nel 1822: 156 cifre;
• Johann Martin Zacharias Dase, nel 1840: 200 cifre;
• Thomas Clausen, nel 1847: 248 cifre;
• Richter, nel 1853: 330 cifre;
• William Rutherford, nel 1853: 440 cifre;
• William Shanks: 530 cifre e, nel 1874, 707 cifre.

Peano riporta quindi una scrittura di \(\pi\) in base 2 e precisa che il calcolo in base binaria fu proposto da Leibniz e compiuto da Jakob Bernoulli.

Irrazionalità e trascendenza di \(\pi\)

Nel 1768 Johann Heinrich Lambert dimostrò che \(\pi\) non è un numero razionale:

\[
\pi\notin\mathbb{Q}.
\]

Nel 1794 Adrien-Marie Legendre dimostrò che anche

\[
\pi^2
\]

è irrazionale.

Nel 1882 Ferdinand von Lindemann dimostrò che, per ogni intero positivo \(n\) e per ogni successione di coefficienti razionali \(x_1,\ldots,x_n\), si ha

\[
\pi^n+\sum_{r=1}^{n}x_r\pi^{\,n-r}\ne0.
\]

In altri termini, \(\pi\) non è radice di alcun polinomio non nullo a coefficienti razionali: \(\pi\) è trascendente. Peano rinvia inoltre a una trattazione di Paul Gordan del 1893.

Nota esplicativa. La trascendenza di \(\pi\) implica l’impossibilità della quadratura del cerchio con la sola riga non graduata e il compasso.

Proprietà del seno e del coseno

Per ogni numero reale \(x\):

\[
\sin x=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=n\pi,
\qquad n\in\mathbb Z.
\]

\[
\sin(\pi-x)=\sin x,
\qquad
\sin(2\pi+x)=\sin x.
\]

\[
\cos x=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac{\pi}{2}+n\pi,
\qquad n\in\mathbb Z.
\]

\[
\cos(\pi-x)=-\cos x,
\qquad
\cos(2\pi+x)=\cos x.
\]

\[
\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right),
\qquad
\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right).
\]

Espressioni di \(e^{\pi i/n}\)

Peano riporta le seguenti espressioni:

\[
e^{\pi i/3}
=
\frac{1+i\sqrt3}{2},
\qquad
e^{\pi i/4}
=
\frac{1+i}{\sqrt2}.
\]

\[
e^{\pi i/5}
=
\frac{1+\sqrt5+i\sqrt{10-2\sqrt5}}{4},
\qquad
e^{\pi i/6}
=
\frac{\sqrt3+i}{2}.
\]

\[
e^{\pi i/8}
=
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}+i\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.
\]

\[
e^{\pi i/10}
=
\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}+i(\sqrt5-1)}{4}.
\]

\[
e^{\pi i/12}
=
\frac{\sqrt6+\sqrt2+i(\sqrt6-\sqrt2)}{4}.
\]

\[
e^{\pi i/15}
=
e^{\pi i/6}e^{-\pi i/10}
\]

\[
=
\frac{
\sqrt{30+6\sqrt5}+\sqrt5-1
+i\left(\sqrt{10+2\sqrt5}+\sqrt3-\sqrt{15}\right)
}{8}.
\]

\[
e^{\pi i/16}
=
\frac{
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}
+i\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}
}{2}.
\]

Peano osserva che le costruzioni dei poligoni regolari corrispondenti alle formule precedenti si trovano nelle proposizioni 6–16 del libro IV degli Elementi di Euclide.

Riporta poi l’espressione mediante radicali di

\[
e^{\pi i/17},
\]

rinviando a Gauss, e le seguenti ulteriori formule:

\[
e^{\pi i/20}
=
\frac{
\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{5-\sqrt5}
+i\left(\sqrt{3+\sqrt5}-\sqrt{5-\sqrt5}\right)
}{4}.
\]

\[
e^{\pi i/30}
=
\frac{
\sqrt{18+6\sqrt5}+\sqrt{10-2\sqrt5}
+i\left(\sqrt{30-6\sqrt5}-\sqrt{6+2\sqrt5}\right)
}{8}.
\]

\[
e^{\pi i/60}
=
\frac{
\sqrt{5+\sqrt5}
+\sqrt{9-3\sqrt5}
+\sqrt{15+3\sqrt5}
-\sqrt{3-\sqrt5}
}{8}
\]

\[
\qquad
+\frac{i}{8}
\left(
\sqrt{5+\sqrt5}
+\sqrt{9-3\sqrt5}
-\sqrt{15+3\sqrt5}
+\sqrt{3-\sqrt5}
\right).
\]

Le radici dell’unità

Se \(n\) è un intero positivo, le \(n\) radici dell’unità sono

\[
e^{2m\pi i/n},
\qquad
m=0,1,\ldots,n-1.
\]

Di conseguenza,

\[
x^n-1
=
\prod_{m=0}^{n-1}
\left(x-e^{2m\pi i/n}\right),
\]

e

\[
x^n+1
=
\prod_{m=0}^{n-1}
\left(x-e^{(2m+1)\pi i/n}\right).
\]

Peano accompagna queste fattorizzazioni con un riferimento a Roger Cotes e a un lavoro del 1722.

Fattorizzazione reale di \(x^n-1\) e \(x^n+1\)

Accoppiando ciascuna radice complessa con la sua coniugata si ottengono fattori quadratici a coefficienti reali.

Quando \(n\) è pari,

\[
x^n-1
=
(x^2-1)
\prod_{m=1}^{(n-2)/2}
\left(
x^2-2x\cos\frac{2m\pi}{n}+1
\right),
\]

\[
x^n+1
=
\prod_{m=0}^{(n-2)/2}
\left(
x^2-2x\cos\frac{(2m+1)\pi}{n}+1
\right).
\]

Quando \(n\) è dispari,

\[
x^n-1
=
(x-1)
\prod_{m=1}^{(n-1)/2}
\left(
x^2-2x\cos\frac{2m\pi}{n}+1
\right),
\]

\[
x^n+1
=
(x+1)
\prod_{m=0}^{(n-3)/2}
\left(
x^2-2x\cos\frac{(2m+1)\pi}{n}+1
\right).
\]

Peano registra inoltre l’identità

\[
\prod_{r=1}^{n}
\sin\frac{r\pi}{2n}
=
\frac{\sqrt n}{2^{n-1}},
\]

rinviando per la dimostrazione al Lehrbuch der Algebra di Heinrich Weber, pubblicato a Braunschweig nel 1895.

Il determinante circolante

Peano riporta quindi un risultato di J. W. L. Glaisher del 1879. In notazione moderna, dato il polinomio

\[
P(x)=\sum_{r=0}^{n}a_rx^r,
\]

il determinante della matrice circolante costruita con i coefficienti \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) può essere espresso come il prodotto dei valori di \(P\) sulle radici \((n+1)\)-esime dell’unità:

\[
\det C
=
\prod_{\omega^{\,n+1}=1}
\left(
\sum_{r=0}^{n}a_r\omega^r
\right).
\]

Peano aggiunge:

Il determinante a tabella che figura in questa proposizione si dice «circolante».

La serie di Leibniz

\[
\frac{\pi}{4}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}
=
1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots.
\]

Peano attribuisce la formula a Leibniz e riporta un passo del 1682. In italiano:

Posto uguale a 1 il quadrato del diametro, l’area del cerchio sarà

\[
\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}
+\frac1{13}-\frac1{15}+\cdots.
\]

Si prende cioè l’intero quadrato del diametro e se ne sottrae la terza parte, affinché il valore non diventi troppo grande; si aggiunge nuovamente la quinta parte, poiché si era sottratto troppo; si sottrae ancora la settima parte, poiché si era aggiunto troppo, e così di seguito.

Nota esplicativa. Le somme parziali forniscono alternativamente approssimazioni per eccesso e per difetto di \(\pi/4\). La serie converge, però, molto lentamente.

Una formula riportata da Gauss

Peano registra inoltre la formula

\[
\frac{\pi}{4}
=
\frac{1}{
\displaystyle
\sum_{n=0}^{\infty}
\binom{1/2}{n}^{\!2}
}
=
\frac{1}{
1+\dfrac14+\dfrac1{(2\cdot4)^2}+\cdots
}.
\]

Equivalentemente,

\[
\sum_{n=0}^{\infty}
\binom{1/2}{n}^{\!2}
=
\frac4\pi.
\]

Peano rinvia alle opere di Gauss.

Eulero e la somma dei reciproci dei quadrati

\[
\frac{\pi^2}{6}
=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}.
\]

Peano accompagna la formula con un riferimento a Eulero e ai lavori pubblicati negli anni 1734–1736.

Analogamente,

\[
\frac{\pi^4}{90}
=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}.
\]

Più in generale, per ogni intero positivo \(m\),

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2m}}
\]

è un multiplo razionale di \(\pi^{2m}\). Peano rinvia, a questo proposito, a Johann Bernoulli.

Serie formate con i numeri dispari

\[
\frac{\pi^2}{8}
=
1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\cdots.
\]

\[
\frac{\pi^3}{32}
=
1-\frac1{3^3}+\frac1{5^3}-\frac1{7^3}+\cdots.
\]

\[
\frac{5\pi^5}{1536}
=
1-\frac1{3^5}+\frac1{5^5}-\frac1{7^5}+\cdots.
\]

Le ultime due formule sono accompagnate da un riferimento a Eulero del 1748.

Formule logaritmiche di Eulero

Peano riporta la formula

\[
-\log\frac{\pi}{4}
=
\sum_{m=1}^{\infty}\frac1{(2m+1)^2}
+
\frac12
\sum_{m=1}^{\infty}\frac1{(2m+1)^4}
+
\frac13
\sum_{m=1}^{\infty}\frac1{(2m+1)^6}
+\cdots.
\]

Le somme sono dunque estese ai numeri dispari

\[
3,5,7,9,\ldots,
\]

e non comprendono il numero \(1\).

Un’altra identità è

\[
\log\frac{\pi^2}{6}
=
\sum_{p}\frac1{p^2}
+
\frac12\sum_{p}\frac1{p^4}
+
\frac13\sum_{p}\frac1{p^6}
+\cdots,
\]

dove le somme sono estese ai numeri primi \(p\).

Nota esplicativa. Quest’ultima identità deriva dal prodotto di Eulero

\[
\frac{\pi^2}{6}
=
\prod_{p}\frac1{1-p^{-2}}.
\]

Un’altra serie di Eulero

Peano riporta la serie

\[
\pi
=
1+\frac12+\frac13+\frac14-\frac15
+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19-\frac1{10}+\cdots.
\]

In forma generale, i segni dipendono dalla molteplicità, nella fattorizzazione del denominatore, dei fattori primi congrui a \(1\) modulo \(4\):

\[
\pi
=
\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{(-1)^{\displaystyle
\sum_{\substack{p\mid n\\p\equiv1\;(\mathrm{mod}\;4)}}v_p(n)}}{n},
\]

dove \(v_p(n)\) indica l’esponente del primo \(p\) nella fattorizzazione di \(n\).

Nota testuale. Nella formula simbolica stampata da Peano sembra comparire \(4N_1-1\), cioè la classe dei primi congrui a \(3\) modulo \(4\). I termini sviluppati, a cominciare dai segni negativi di \(1/5\) e \(1/10\), corrispondono invece alla classe \(4N_1+1\). Si tratta verosimilmente di un refuso nell’originale.

Sviluppi in frazioni semplici

Per \(x\notin\mathbb Z\),

\[
\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}
=
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}
\frac1{(x+n)^2}.
\]

Si ha inoltre

\[
\pi\cot(\pi x)
=
\frac1x
+
2x\sum_{n=1}^{\infty}
\frac1{x^2-n^2},
\]

e, in forma simmetrica,

\[
\pi\cot(\pi x)
=
\lim_{N\to\infty}
\sum_{r=-N}^{N}\frac1{x-r}.
\]

Peano accompagna queste formule con un riferimento a Eulero del 1748.

Per la funzione iperbolica corrispondente si ha

\[
\pi\,
\frac{e^{\pi x}+e^{-\pi x}}
{e^{\pi x}-e^{-\pi x}}
=
\frac1x
+
2x\sum_{n=1}^{\infty}
\frac1{x^2+n^2}.
\]

In notazione moderna:

\[
\pi\coth(\pi x)
=
\frac1x
+
2x\sum_{n=1}^{\infty}
\frac1{x^2+n^2}.
\]

Per \(0<a<\pi/2\), Peano riporta infine l’identità

\[
\frac1a
=
\cot a+
\sum_{r=1}^{\infty}
2^{-r}\tan\left(2^{-r}a\right),
\]

accompagnandola con un riferimento a Eulero del 1746.

Convergenza di serie trigonometriche

Se la successione \((a_r)\) è decrescente e tende a zero, la serie

\[
\sum_{r=0}^{\infty}a_re^{irx}
\]

converge per i valori reali di \(x\) che non siano multipli di \(2\pi\).

Ne segue che la serie

\[
\sum_{r=0}^{\infty}a_r\cos(rx)
\]

converge quando \(x\) non è un multiplo di \(2\pi\), mentre la serie

\[
\sum_{r=0}^{\infty}a_r\sin(rx)
\]

converge per ogni valore reale di \(x\).

Il prodotto di Wallis

\[
\pi
=
2\cdot\frac21\cdot\frac23\cdot
\frac43\cdot\frac45\cdot
\frac65\cdot\frac67\cdots.
\]

Equivalentemente,

\[
\frac{\pi}{2}
=
\prod_{n=1}^{\infty}
\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}.
\]

Peano cita quindi un passo latino di Wallis del 1655. In italiano:

Affermiamo che la frazione

\[
\frac{3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdots}
{2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdots},
\]

ossia

\[
\frac{9\cdot25\cdot49\cdot81\cdots}
{8\cdot24\cdot48\cdot80\cdots},
\]

proseguita all’infinito, è precisamente il numero cercato, tale che l’unità sta ad esso come l’area del cerchio sta al quadrato del diametro.

La frazione indicata da Wallis è dunque

\[
\frac4\pi,
\]

non \(\pi/4\). Infatti, indicando con \(W\) il numero cercato, dal rapporto tra l’area del cerchio e il quadrato del diametro si ottiene

\[
1:W=\frac{\pi}{4}:1,
\]

e pertanto

\[
W=\frac4\pi.
\]

Stime per i coefficienti binomiali centrali

Per ogni intero positivo \(n\), Peano riporta le disuguaglianze

\[
\binom{2n}{n}
< \frac{2^{2n}}{\sqrt{n\pi}}, \] \[ \binom{2n}{n} >
\frac{2^{2n}}
{\sqrt{\left(n+\frac12\right)\pi}}.
\]

Nota esplicativa. Le due disuguaglianze conducono all’equivalenza asintotica

\[
\binom{2n}{n}
\sim
\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.
\]

I prodotti infiniti di Eulero

Peano riporta il prodotto infinito

\[
\sin x
=
x\prod_{n=1}^{\infty}
\left(
1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}
\right),
\]

e l’analoga fattorizzazione del coseno:

\[
\cos x
=
\prod_{m=0}^{\infty}
\left(
1-\frac{4x^2}{(2m+1)^2\pi^2}
\right).
\]

Registra inoltre l’identità

\[
\prod_{n=1}^{\infty}
\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)
=
\frac{\sin x}{x},
\]

accompagnandola con un riferimento a Eulero del 1737.

Nota esplicativa. La formula deriva dall’applicazione ripetuta dell’identità di duplicazione del seno.

Infine,

\[
\frac{e^x-e^{-x}}{2}
=
x\prod_{n=1}^{\infty}
\left(
1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}
\right).
\]

In notazione moderna:

\[
\sinh x
=
x\prod_{n=1}^{\infty}
\left(
1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}
\right).
\]