Sezione aurea – Costruzione geometrica

Sezione aurea – Costruzione geometrica

La costruzione geometrica della sezione aurea.

(da  IL TEOREMA DI  PITAGORA E SUE IMPORTANTI APPLICAZIONI- Prof. Luigi Pedrotti – N° 86 Biblioteca del popolo – Milano Casa Editrice Sonzogno- 1939 Esercizio 29,  pagg. 26, 27,28,29)

         Dividere un segmento in media ed estrema ragione oppure dividere un segmento in sezione aurea; cioè dividere un segmento in due parti tali che il quadrato di una di esse ( la maggiore) sia uguale al prodotto dell’altra e dell’intero segmento.
La parte maggiore del segmento venne chiamata dagli antichi segmento aureo.
Sia AB il segmento dato: si costruisca il triangolo ABC rettangolo in B e col cateto si faccia centro in C e con raggio CB si descriva la circonferenza , che tagli AC in D; sopra AB si prenda AE = AD; proviamo che AB è diviso in E in media ed estrema ragione, cioè che

   

 Si prolunghi AC fino ad incontrare nuovamente la circonferenza in F; si ha che la tangente AB è media proporzionale fra l’intera segante AF e la sua parte esterna AD e cioè 

 

 Ma

 

e perciò la relazione diventa 

 

 ossia

 

 da cui

 

oppure

 

Finalmente

 

 Osservazione 1  – Il segmento AH è il segmento aureo in cui è diviso BH dal punto A.

Osservazione 2 – Il segmento AF è diviso in D in sezione aurea, poiché 

 

Resta così risolto il problema:
Trovare  il segmento diviso in sezione aurea , data la parte maggiore AB. Tracciato un cerchio di raggio uguale a  si conduce da un punto di esso una tangente = AB, si unisce la sua estremità A col centro C e prolungando fino ad incontrare il cerchio nel punto F, sarà AF il segmento domandato.

Osservazione 3 – Il segmento AF è diviso in sezione aurea in D e sul segmento AB eguale alla parte maggiore DF avendo portato la parte minore AD in AE, AB resta diviso in E in sezione aurea; quindi:
Se un segmento è diviso in sezione aurea e si trasporta la parte minore sulla maggiore, questa rimane divisa in sezione aurea.

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