I numeri di Fibonacci

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I numeri di Fibonacci

La successione dei numeri di Fibonacci (da Emilio Ambrisi, Ricorsività, in Enciclopedia Pedagogica, Ed. La Scuola, Brescia)     Nel 1202 Leonardo Pi

La successione dei numeri di Fibonacci

(da Emilio Ambrisi, Ricorsività, in Enciclopedia Pedagogica, Ed. La Scuola, Brescia)

    Nel 1202 Leonardo Pisano, detto Fibonacci, pose il seguente problema: “Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?”. Questo problema dà luogo alla seguente successione detta di Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……

Essa è generata dalla ricorsione

f(n) = f(n-1) + f(n-2)  per n>2

f(1) = f(2) = 1

  La successione di Fibonacci rivela una serie considerevole di proprietà mirabili ed inaspettate delle quali ci si limita a segnalare le seguenti:

1) il massimo comun divisore tra due numeri di Fibonacci f(n) e f(m) è il numero della successione, corrispondente al massimo comun divisore di n e m, ovvero:

MCD(f(n),f(m)) = f(MCD(n,m))

Es.: f(10) = 55, f(5) = 5, MCD(f(10),f(5)) = f(MCD(10,5)) = f(5) =5

Questa proprietà fu scoperta nel 1876 da Edouard Lucas (1842-1891), ispettore ministeriale per i licei e autore della classica opera Recreations Mathematiques. In definitiva essa commuta, magicamente, le due operazioni “prendi il MCD” e “calcola Fibonacci”.

2) I rapporti tra due successivi numeri di Fibonacci

3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, ……

tendono al numero aureo φ =  ritenuto ideale nell’arte e sublimato da Luca Pacioli come divina proporzione (1)

Poichè φ non è un numero intero (anzi è un irrazionale) ciò equivale a dire che due numeri successivi di Fibonacci sono primi tra loro e che

f(n) » φ×f(n-1)

o anche che

f(n) » φn /

dove  » significa  “prendi l’intero più vicino”.

NOTA

(1)Commo Idio propriamente non se po diffinire nè per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, nè per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale” [Luca Pacioli,1509, ed. 1956 pag.21]. Secondo Fernando Gil da questo brano di Pacioli emerge un nuovo significato e cioè che contro tutta la tradizione (che durerà ancora a lungo) la perfezione viene associata alle grandezze irrazionali.

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