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I numeri di Fibonacci

La successione dei numeri di Fibonacci

(da Emilio Ambrisi, Ricorsività, in Enciclopedia Pedagogica, Ed. La Scuola, Brescia)

    Nel 1202 Leonardo Pisano, detto Fibonacci, pose il seguente problema: “Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?”. Questo problema dà luogo alla seguente successione detta di Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……

Essa è generata dalla ricorsione

f(n) = f(n-1) + f(n-2)  per n>2

f(1) = f(2) = 1

  La successione di Fibonacci rivela una serie considerevole di proprietà mirabili ed inaspettate delle quali ci si limita a segnalare le seguenti:

1) il massimo comun divisore tra due numeri di Fibonacci f(n) e f(m) è il numero della successione, corrispondente al massimo comun divisore di n e m, ovvero:

MCD(f(n),f(m)) = f(MCD(n,m))

Es.: f(10) = 55, f(5) = 5, MCD(f(10),f(5)) = f(MCD(10,5)) = f(5) =5

Questa proprietà fu scoperta nel 1876 da Edouard Lucas (1842-1891), ispettore ministeriale per i licei e autore della classica opera Recreations Mathematiques. In definitiva essa commuta, magicamente, le due operazioni “prendi il MCD” e “calcola Fibonacci”.

2) I rapporti tra due successivi numeri di Fibonacci

3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, ……

tendono al numero aureo φ =  ritenuto ideale nell’arte e sublimato da Luca Pacioli come divina proporzione (1)

Poichè φ non è un numero intero (anzi è un irrazionale) ciò equivale a dire che due numeri successivi di Fibonacci sono primi tra loro e che

f(n) ≈ φ×f(n-1)

o anche che

f(n) ≈ φn /

dove  ≈ significa  “prendi l’intero più vicino”.

NOTA

(1)“Commo Idio propriamente non se po diffinire nè per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, nè per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale” [Luca Pacioli,1509, ed. 1956 pag.21]. Secondo Fernando Gil da questo brano di Pacioli emerge un nuovo significato e cioè che contro tutta la tradizione (che durerà ancora a lungo) la perfezione viene associata alle grandezze irrazionali.

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