La successione dei numeri di Fibonacci
(da Emilio Ambrisi, Ricorsività, in Enciclopedia Pedagogica, Ed. La Scuola, Brescia)
Nel 1202 Leonardo Pisano, detto Fibonacci, pose il seguente problema: “Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?”. Questo problema dà luogo alla seguente successione detta di Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……
Essa è generata dalla ricorsione
f(n) = f(n-1) + f(n-2) per n>2
f(1) = f(2) = 1
La successione di Fibonacci rivela una serie considerevole di proprietà mirabili ed inaspettate delle quali ci si limita a segnalare le seguenti:
1) il massimo comun divisore tra due numeri di Fibonacci f(n) e f(m) è il numero della successione, corrispondente al massimo comun divisore di n e m, ovvero:
MCD(f(n),f(m)) = f(MCD(n,m))
Es.: f(10) = 55, f(5) = 5, MCD(f(10),f(5)) = f(MCD(10,5)) = f(5) =5
Questa proprietà fu scoperta nel 1876 da Edouard Lucas (1842-1891), ispettore ministeriale per i licei e autore della classica opera Recreations Mathematiques. In definitiva essa commuta, magicamente, le due operazioni “prendi il MCD” e “calcola Fibonacci”.
2) I rapporti tra due successivi numeri di Fibonacci
3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, ……
tendono al numero aureo φ = 
ritenuto ideale nell’arte e sublimato da Luca Pacioli come divina proporzione (1)
Poichè φ non è un numero intero (anzi è un irrazionale) ciò equivale a dire che due numeri successivi di Fibonacci sono primi tra loro e che
f(n) ≈ φ×f(n-1)
o anche che
f(n) ≈ φn / 
dove ≈ significa “prendi l’intero più vicino”.
NOTA
(1)“Commo Idio propriamente non se po diffinire nè per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, nè per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale” [Luca Pacioli,1509, ed. 1956 pag.21]. Secondo Fernando Gil da questo brano di Pacioli emerge un nuovo significato e cioè che contro tutta la tradizione (che durerà ancora a lungo) la perfezione viene associata alle grandezze irrazionali.
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