Simulazione Seconda Prova – Matematica

Liceo Scientifico – Esame di Stato. Simulazione Seconda Prova – Matematica – Guida alle soluzioni e considerazioni didattiche.

In vista della prova scritta di giugno, Matmedia ha chiesto all’Intelligenza Artificiale di proporre un testo da utilizzare come esercitazione in classe.

La richiesta nasce con spirito di servizio verso i docenti e la loro attività didattica. I testi proposti dall’A.I. devono ovviamente essere controllati prima di essere sottoposti agli studenti. Una buona strategia didattica può consistere proprio nel coinvolgere gli studenti stessi nell’analisi e nella verifica della correttezza delle tracce.

Nell’elaborazione dei problemi, l’Intelligenza Artificiale sembra aver seguito le tendenze degli ultimi anni. Il primo problema propone, infatti, lo studio di una famiglia di funzioni. Un argomento comodo perchè consente di articolare agevolmente la traccia in sotto-quesiti corrispondenti a particolari valori assegnati al parametro. Il secondo problema, invece, riflette una preferenza per la geometria analitica e la probabilità. Di questo problema 2 viene proposta anche una variante. Tra gli stimoli didattici offerti dal Problema 2, si segnala l’opportunità di riflettere, in un contesto di geometria analitica, sulle varie vie possibili per determinare l’area di un triangolo assegnati i suoi tre vertici.

Comunque nessuno dei due problemi presenta citazioni di sorta, nè iniziali nè finali, come avvenuto lo scorso anno con le frasi di De Giorgi e Hardy. Probabilmente ChatGPT non ha individuato citazioni adatte da utilizzare come cornice “intelligente”.

Problema 1 – Studio di funzione parametrica e area

Sia data la funzione:

f_a (x) =(x³ – ax) / (x² + 1) ,  con a ∈ ℝ

1. Determinare il dominio della funzione f_a(x).
2. Studiare il comportamento della funzione al variare del parametro a:
   • Per quali valori di a la funzione è pari o dispari?
   • Per quali valori di a la funzione ha un massimo o un minimo relativo in x = 0?
3. Studiare il comportamento della funzione per x → ±∞ e discutere l’esistenza di asintoti.
4. Calcolare i punti stazionari in funzione del parametro a e classificarli.
5. Per a = 2, disegnare il grafico della funzione.
6. Per a = 2, calcolare l’area tra il grafico della funzione e l’asse x nell’intervallo [-2, 2].

Problema 2 – Geometria analitica e probabilità

Nel piano cartesiano, siano dati i punti A(1, 2), B(4, 6) e C(x, y), dove x e y ∈ ℝ tali che il triangolo ABC abbia area pari a 10.

1. Determinare un’equazione che lega x e y affinché l’area del triangolo sia 10.
2. Trovare tutti i possibili punti C che soddisfano tale condizione.
3. Sia ora C un punto scelto a caso nel quadrato [0, 5] × [0, 5]. Qual è la probabilità che il triangolo ABC abbia area maggiore di 10?

Quesiti brevi (Scegliere 4 quesiti su 8)

1. Un’urna contiene 4 palline rosse e 6 blu. Si estraggono senza reinserimento 3 palline. Calcolare la probabilità che:
   • Siano tutte dello stesso colore
   • Esattamente due siano blu
   • Almeno una sia rossa
2. Calcola lim(x→0) (sin(3x)/x)
3. Scrivi l’equazione della retta tangente a f(x) = ln(x² + 1) in x = 1
4. Trova il numero complesso z tale che z² = 3 – 4i
5. Calcola la somma ∑n=1∞ 1/(n(n+1))
6. Sia f continua, f(0) = 2 e f ‘(x) > 0 per ogni x. Descrivi qualitativamente il suo grafico.
7. Calcola l’integrale ∫01 x·ex dx
8. Risolvi il sistema:

x + y + z = 3
2x – y + 3z = 4
x + 2y – z = 1

Esempio – Soluzione guidata (Problema 1)

• Dominio: f_a(x) è definita per ogni x ∈ R
• Simmetrie: f_a(-x) = -f_a(x) → funzione dispari
• Derivata prima: usare il quoziente per derivare e cercare i punti stazionari
• Comportamento agli estremi: x → ±∞ implica divergenza
• Area con a = 2: funzione dispari su intervallo simmetrico → area nulla

Esempio – Soluzione guidata (Problema 2)

L’area di un triangolo dati tre punti nel piano cartesiano può essere calcolata con la formula del determinante:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right|$$ $$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(6 – y) + 4(y – 2) + x(2 – 6) \right|$$

Sviluppiamo:

$$= \frac{1}{2} \left| 6 – y + 4y – 8 + x(-4) \right| = \frac{1}{2} \left| 3y – 2 – 4x \right|$$

Poniamo area = 10:

$$\frac{1}{2} \left| 3y – 2 – 4x \right| = 10 \Rightarrow \left| 3y – 2 – 4x \right| = 20$$

Quindi, otteniamo due equazioni:

$$3y – 2 – 4x = 20 \quad \text{oppure} \quad 3y – 2 – 4x = -20$$

Conclusione: I punti

C(x,y) che rendono l’area del triangolo pari a 10 devono trovarsi su una delle due rette:

$$y = \frac{4}{3}x + \frac{22}{3} \quad \text{oppure} \quad y = \frac{4}{3}x – 6$$

✅ 2. Trovare tutti i possibili punti C che soddisfano tale condizione

Abbiamo già trovato le due rette su cui devono trovarsi tutti i punti C affinché il triangolo ABC abbia area 10.

Quindi, tutti i possibili punti C si trovano sull’unione di queste due rette nel piano:

• $y = \frac{4}{3}x + \frac{22}{3}$

  ​

• $y = \frac{4}{3}x – 6$

  Non c’è bisogno di limitare x o y, perché il problema non impone condizioni oltre all’appartenenza ai reali.

✅ 3. C è scelto a caso nel quadrato $[0,5]\times [0,5]$. Qual è la probabilità che il triangolo ABC abbia area maggiore di 10?

Abbiamo visto che i punti C che rendono l’area esattamente 10 giacciono su due rette.

Nel piano, una retta ha area nulla, quindi la probabilità che C sia esattamente su una delle due rette (cioè l’area sia esattamente 10) è zero.

Quindi possiamo dire che:

La probabilità che l’area sia maggiore di 10 è uguale alla probabilità che C non sia su quelle due rette, ovvero quasi ovunque nel quadrato.

Resta da capire: in quale zona del quadrato l’area è maggiore di 10, e in quale minore?

Usiamo la formula dell’area ricavata prima:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| 3y – 2 – 4x \right|$$

Ci interessa sapere quando:

$$\left| 3y – 2 – 4x \right| > 20 \quad \Rightarrow \quad \text{Area} > 10$$

Quindi:

$$3y – 2 – 4x > 20 \quad \text{oppure} \quad 3y – 2 – 4x < -20$$

Cioè:

1. $3y > 4x + 22 \Rightarrow y > \frac{4}{3}x + \frac{22}{3}$

   ​

2. $3y < 4x – 18 \Rightarrow y < \frac{4}{3}x – 6$

Nel quadrato [0, 5]×[0, 5], vediamo graficamente che:

• La retta

  $y = \frac{4}{3}x + \frac{22}{3}$​ è sempre al di sopra del quadrato: ad esempio, per x=0,

  $y = \frac{22}{3} \approx 7.33$

• La retta

  $y = \frac{4}{3}x – 6$è sempre al di sotto del quadrato: ad esempio, per x=0, y=−6

Quindi, nessun punto del quadrato soddisfa la condizione per cui l’area sia maggiore di 10.

Conclusione finale:

Probabilità che il triangolo ABC abbia area maggiore di 10 è 0

Problema 2 – Variante Estesa: Triangolo casuale e area variabile

Nel piano cartesiano, siano dati i punti

• A(0,0),
• B(4,0), e un punto C(x,y) scelto casualmente e uniformemente nel rettangolo [0,4]×[0,3].

Domande:

1. Determina un’espressione per l’area del triangolo $ABC$ in funzione delle coordinate $(x,y)$ del punto $C$.

2. Qual è la probabilità che l’area del triangolo sia maggiore di 4?

3. Calcola il valore atteso (media) dell’area del triangolo $ABC$ al variare casuale di C nel rettangolo.

4. Per quali coordinate di $C(x,y)$ nel rettangolo l’area del triangolo $ABC$ è massima? Qual è tale area massima?