Un fantasmino nel piano cartesiano

Attività didattiche nel piano cartesiano: a caccia di curve e raccordi per Halloween.

Per la festa di Halloween

Tra zucche illuminate e un nero pipistrello, il calcolo d’un arco si fa sempre più bello.
Sospeso nel piano, tra ascissa e ordinata, il fantasma vi augura una notte stregata!

Alla viglia della festa di Halloween è stata pubblicata su Matmedia l’interessante attività didattica Un gatto nel piano cartesiano, che guida gli studenti a riconoscere e delimitare segmenti e archi di parabola per ricostruire la figura di un felino.

Prendendo esplicitamente spunto da quell’ottima proposta, e visto che la giornata del 31 ottobre ormai incalza, l’idea è di riadattare la proposta in veste «spettrale», spostando l’attenzione su un simpatico fantasmino fluttuante.

Se nel caso del gatto il focus era sulle simmetrie e sulla corretta selezione degli intervalli, questa nuova figura ci offre l’assist per esplorare la continuità e manipolare le funzioni definite a tratti. L’obiettivo? Raccordare sapientemente le parabole per costruire la base ondulata a «lenzuolo» e delineare le espressioni del viso. Un’occasione perfetta per fare matematica giocando con le forme di Halloween, trasformando anche un disegno a mano libera in un rigoroso modello algebrico.

Questo è ciò che si può fare anche coi nipotini quando sono già grandini e disegnano dei fantasmini.

Un fantasmino nel piano cartesiano ad Halloween

Riconoscere le curve, scegliere gli archi, costruire un’immagine. Un’attività didattica in tema Halloween per studenti che hanno già studiato la parabola.

Che cosa suggerisce la figura? Quali particolari orientano la nostra interpretazione?

Una figura composta da segmenti e archi di parabola. I numeri identificano i diversi tratti.

Nell’immagine si può riconoscere un classico fantasmino fluttuante, con una base ondulata, due braccetti protesi in avanti, un paio di occhi e una bocca aperta in un’espressione di stupore. Il disegno è composto interamente da segmenti e archi di parabola. La proposta è scoprire come le equazioni possano descrivere questi elementi e come le condizioni sulle coordinate permettano di delimitarli.

L’equazione individua una curva; le condizioni sulle coordinate selezionano il tratto che serve al disegno. È questa l’idea intorno alla quale si sviluppa l’attività, destinata a studenti del secondo anno del primo biennio e a chiunque vorrà seguirli in questa sfida.

La figura e le equazioni

Agli studenti si consegnano la figura con i tratti numerati (in questo caso da 1 a 11, lettere da A a K) e l’elenco delle equazioni corrispondenti. Queste sono presentate senza le condizioni che delimitano i tratti e in ordine diverso rispetto alla numerazione del disegno. Per la rappresentazione si suggerisce una finestra grafica definita dagli intervalli:

\[
-6\le x\le 6,\qquad -2\le y\le 10.
\]

Questi intervalli delimitano la porzione di piano visualizzata. Per non deformare il nostro «spettro» e mantenere proporzioni naturali, è consigliabile utilizzare una scala monometrica (l’unità sull’asse delle ascisse dovrà avere la stessa lunghezza di quella sull’asse delle ordinate).

La consegna

a) Riconoscere le curve. Associate a ciascun tratto numerato l’equazione corrispondente nell’elenco. Motivate le scelte considerando la posizione, la direzione dell’asse, la concavità, il vertice e le eventuali simmetrie. Quali equazioni descrivono la bocca aperta del fantasmino? Quali caratteristiche permettono di capire quale parabola forma il labbro superiore e quale quello inferiore, pur avendo entrambe l’asse coincidente con l’asse \(y\)?

b) Delimitare i tratti. Per ogni equazione individuata, aggiungete le condizioni sulle coordinate necessarie a ottenere soltanto il tratto rappresentato. Indicate gli estremi degli archi e dei segmenti. Quando due archi si raccordano perfettamente (come nei vertici della base ondulata o agli angoli della bocca), calcolate le coordinate esatte del punto di incontro.

c) Rappresentare e controllare. Rappresentate con un software di geometria dinamica le equazioni dell’elenco, prima senza condizioni e poi con i vincoli individuati. Il secondo disegno riproduce la figura proposta? Quali parti delle curve vengono escluse dai vincoli?

Alcuni spunti per la discussione

Condizioni diverse possono selezionare lo stesso arco? Consideriamo la parabola che modella l’onda sinistra alla base del fantasmino:

\[
y=(x+2)^2-1.
\]

Confrontiamo i seguenti due vincoli per delimitare il tratto:

\[
-3\le x\le -1,\qquad y\le 0.
\]

Le due descrizioni individuano lo stesso insieme di punti? Ponendo \((x+2)^2-1\le 0\) e risolvendo la disequazione di secondo grado, si ottiene esattamente l’intervallo delle ascisse indicato sopra. Il confronto permette di osservare che, in questo caso, la delimitazione attraverso le ordinate è perfettamente equivalente a quella sulle ascisse.

Che cosa ci dicono le simmetrie? Gran parte della figura è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate. Come si riconosce questa relazione nelle loro equazioni? Si confrontino, per esempio, le espressioni delle braccia sollevate:

\[
y=-(x+4)^2+4,\qquad y=-(x-4)^2+4.
\]

Come cambiano il vertice e l’intervallo che delimita ciascun arco? Quale trasformazione geometrica lega le due funzioni?

È il grafico di una funzione? La figura complessiva può essere il grafico di una funzione \(y=f(x)\)? Si traccino alcune rette parallele all’asse delle ordinate (ad esempio \(x=0\)). Quanti punti del disegno interseca ciascuna di esse? La presenza di più punti con la stessa ascissa esclude che l’intera figura sia il grafico di una funzione di \(x\). A ciò si aggiungono i segmenti verticali dei fianchi, descritti da equazioni del tipo \(x=k\), che associano alla medesima ascissa più ordinate.

Dalla lettura al progetto

L’attività può concludersi chiedendo agli studenti di modificare un particolare della figura, scrivendo le nuove equazioni e le condizioni necessarie. Ad esempio: come si potrebbe cambiare l’espressione del fantasmino per renderla spaventata (modificando la bocca in un unico arco rivolto verso il basso) o come si potrebbe fargli fare l’occhiolino? Il passo successivo è progettare un’altra immagine di Halloween utilizzando la stessa logica matematica, scambiandosi i progetti tra gruppi per verificarne la tenuta algebrica.

Ho preparato un’applicazione web interattiva che necessita solo di un browser, trattandosi di una pagina HTML completa (che include CSS tramite Tailwind e JavaScript), e che disegna il fantasmino sul piano cartesiano utilizzando le equazioni illustrate. [VEDI]

Ho aggiunto una funzionalità didattica: passando il mouse sulle equazioni nel pannello laterale, il tratto corrispondente sul piano cartesiano si illumina, permettendo agli studenti di capire esattamente quale formula governa ogni parte del disegno. [Vedi pagina allegata]

Sviluppi del progetto

Nel caso dovessimo basare l’esercizio sui fantasmini proposti dagli stessi studenti (per esempio: F1, F2), l’attività didattica si arricchirebbe di nuovi spunti matematici molto interessanti, spostando il focus dalla semplice simmetria a concetti da considerare leggermente più avanzati.

Ecco come potremmo strutturare l’analisi per rilanciarla proponendola agli studenti:

F1. Il fantasma asimmetrico (riferito alla prima immagine F1)

Questo disegno rompe la perfetta simmetria assiale che avevamo ipotizzato prima, introducendo un’ottima occasione per far riflettere i ragazzi su questi aspetti:

• La coda asimmetrica. La parte inferiore non è più una base orizzontale, ma una curva che piega verso destra. Per modellarla con le parabole, gli studenti dovrebbero utilizzare archi di parabole con asse orizzontale (del tipo \(x=ay^2+by+c\)), raccordandoli opportunamente con il corpo.
• Gli occhi e la bocca. A differenza degli archi di parabola usati in precedenza, qui abbiamo degli ovali. Questo permetterebbe di introdurre o ripassare l’equazione dell’ellisse:\[
  \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,
  \qquad a,b>0.
  \]Se l’attività è rivolta a studenti che ancora non conoscono le coniche centrali, si può lanciare la sfida di approssimare ogni ovale unendo due archi di parabola con concavità opposte (uno verso l’alto e uno verso il basso per la bocca, come avevamo fatto noi).
• Le braccia. Presentano cambi di concavità. Si potrebbe sfidare la classe a cercare di modellarle unendo archi di parabola con concavità opposte, calcolando con precisione il punto di raccordo e facendo in modo che abbiano la stessa tangente in quel punto.

F2. I fantasmini modulari (riferiti allo schizzo F2)

Questi tre disegni a mano libera sono perfetti per un lavoro sui parametri e sulle funzioni definite a tratti:

• La base a «lenzuolo strappato». Il bordo inferiore a zig-zag è un classico esercizio sulle funzioni definite a tratti. Si può chiedere di costruire la base affiancando 3 o 4 parabole strette e con concavità verso l’alto (ad esempio \(y=3(x-x_v)^2-2\)), definite su intervalli contigui delle ascisse. È un’ottima introduzione intuitiva all’idea di funzioni periodiche.
• Le espressioni facciali (variazione dei parametri). I tre fantasmini hanno lo stesso «corpo» ma facce diverse. Questa è un’opportunità didattica d’oro. Mantenendo fisse le equazioni del contorno, gli studenti devono variare solo le equazioni della bocca per cambiare l’umore del fantasma.
• Fantasma di sinistra (felice): un arco di parabola verso l’alto tagliato da un segmento orizzontale.
• Fantasma centrale (stupito): un’ellisse molto eccentrica con asse maggiore verticale (o due archi di parabola con asse verticale e concavità opposte, simmetrici rispetto a una retta orizzontale).
• Fantasma di destra (annoiato/perplesso): due segmenti orizzontali paralleli o un’ellisse molto schiacciata.

Avanzamenti sulla base di un fantasmino tipo

Si potrebbe suggerire il fantasma base come «Progetto 1» e i disegni che vengono proposti come «Sfide di approfondimento» per i gruppi più rapidi, chiedendo loro di trovare le equazioni per le basi ondulate o, eventualmente, di parametrizzare le emozioni.

Con delle immagini semplificate, possiamo analizzare la caratteristica base ondulata a «frangia» che accomuna quei tre fantasmini alla figura basica dell’applicazione allegata.

Il fantasmino verde a 7 tratti dell’immagine chiarisce e amplia perfettamente il concetto. Osservando la sua frangia inferiore, si contano esattamente 4 punte rivolte verso il basso e 3 archetti di raccordo rivolti verso l’alto.

Tradotto in parabole, significa che la curva deve iniziare con un arco a concavità verso l’alto (\(\cup\)), salire in un archetto a concavità verso il basso (\(\cap\)), scendere in una seconda punta (\(\cup\)) e così via, per un totale di 7 tratti continui:

\[
\cup\;\cap\;\cup\;\cap\;\cup\;\cap\;\cup.
\]

A livello didattico, questa forma è un possibile spunto per introdurre le funzioni definite a tratti e per mostrare come «incollare» diverse parabole in modo continuo, definendo per ciascuna un preciso intervallo (dominio) sull’asse delle ascisse \(x\).

L’idea matematica della base ondulata

Per modellare la frangia a 7 tratti del fantasmino verde, possiamo costruire un sistema di equazioni estremamente elegante sfruttando la simmetria. Immaginiamo di disporre le 4 punte rivolte verso il basso all’altezza \(y=0\) e i 3 archetti di raccordo all’altezza \(y=1\). Per garantire che le curve si raccordino perfettamente a metà altezza (\(y=0{,}5\)), assegniamo alle parabole con concavità verso l’alto (le punte, \(\cup\)) un coefficiente \(a=2\), e a quelle con concavità verso il basso (gli archetti, \(\cap\)) un coefficiente opposto \(a=-2\).

Scegliendo intervalli regolari di ampiezza 1 lungo l’asse delle ascisse, ecco il sistema rigoroso per la sequenza \(\cup\cap\cup\cap\cup\cap\cup\):

\[ y=2(x+3)^2 \qquad \text{per } -3{,}5\le x\lt -2{,}5 \]

\[ y=-2(x+2)^2+1 \qquad \text{per } -2{,}5\le x\lt -1{,}5 \]

\[ y=2(x+1)^2 \qquad \text{per } -1{,}5\le x\lt -0{,}5 \]

\[ y=-2x^2+1 \qquad \text{per } -0{,}5\le x\lt 0{,}5 \]

\[ y=2(x-1)^2 \qquad \text{per } 0{,}5\le x\lt 1{,}5 \]

\[ y=-2(x-2)^2+1 \qquad \text{per } 1{,}5\le x\lt 2{,}5 \]

\[ y=2(x-3)^2 \qquad \text{per } 2{,}5\le x\le 3{,}5 \]

I sette tratti corrispondono, nell’ordine, alla punta estrema sinistra, al primo archetto di rientranza, alla punta interna sinistra, all’arco centrale, alla punta interna destra, al terzo archetto di rientranza e alla punta estrema destra.

Se gli studenti verificassero i punti di giunzione (ad esempio per \(x=-0{,}5\)), troverebbero che sia la punta interna sinistra, con

\[
y=2(-0{,}5+1)^2=0{,}5,
\]

sia l’arco centrale, con

\[
y=-2(-0{,}5)^2+1=0{,}5,
\]

restituiscono esattamente lo stesso valore, garantendo una continuità come rammendo impeccabile al lenzuolo spettrale. È un eccellente esercizio di traslazione delle coniche. Un esercizio che, per quel che so, molti insegnanti spesso propongono a modo loro.

Variante che si ha usando la goniometria

Se questa attività fosse proposta a studenti del triennio, si potrebbe lanciare una sfida alternativa: invece di usare sette parabole diverse, si potrebbe approssimare la base ondulata usando un’unica funzione goniometrica opportunamente traslata e modulata, come ad esempio un pezzetto di sinusoide del tipo:

\[
y=a\sin(bx)+c,
\]

oppure, per avere le punte più «schiacciate», una funzione che combina meglio seno e coseno. Per studenti del biennio, il puzzle di parabole descritto sopra è perfetto perché allena la manipolazione delle equazioni e la comprensione dei domini limitati!

Completamento dell’opera

Per completare il modello algebrico del fantasmino verde e chiudere perfettamente il suo perimetro, dobbiamo connettere le estremità della frangia (che terminano nei punti di ascissa \(x=-3{,}5\) e \(x=3{,}5\), all’altezza \(y=0{,}5\)) con i fianchi verticali e la cupola arrotondata, per poi inserire i dettagli del volto.

1. I fianchi (lati verticali)

Nel fantasmino verde, a differenza degli schizzi precedenti, i fianchi scendono dritti e paralleli fino alla frangia. Possono essere modellati con due segmenti di retta verticali che partono dalla base (\(y=0{,}5\)) e salgono fino all’altezza in cui inizierà la curvatura della testa (poniamo \(y=5\)). Dunque poniamo:

Fianco sinistro:

\[
x=-3{,}5,\qquad 0{,}5\le y\le 5.
\]

Fianco destro:

\[
x=3{,}5,\qquad 0{,}5\le y\le 5.
\]

2. La testa (cupola superiore)

Per chiudere superiormente la figura, utilizziamo una grande parabola con concavità verso il basso (\(\cap\)) che si raccordi ai vertici superiori dei fianchi, nei punti \((-3{,}5;\,5)\) e \((3{,}5;\,5)\). Un’equazione con coefficienti decimali finiti che garantisce questa chiusura per la cupola è:

\[
y=-0{,}2x^2+7{,}45,\qquad -3{,}5\le x\le 3{,}5.
\]

Verifica didattica per gli studenti: sostituendo \(x=\pm3{,}5\), si ottiene

\[
y=-0{,}2\cdot12{,}25+7{,}45=-2{,}45+7{,}45=5.
\]

Il raccordo è geometricamente esatto: i tratti condividono gli estremi, pur senza avere la stessa tangente.

3. I dettagli del viso

Il volto del fantasmino verde presenta occhi piccoli e rotondi molto distanziati e una grande bocca allungata in una «O» di stupore. Mantenendo l’utilizzo esclusivo delle parabole, possiamo chiudere queste regioni sovrapponendo archi con concavità opposte.

Gli occhi. Modellati con coppie di archi di parabola per simulare dei piccoli ovali orizzontali:

Occhio sinistro:

\[
\begin{aligned}
y&=-2(x+2)^2+5{,}2,\\
y&=2(x+2)^2+4{,}8.
\end{aligned}
\]

Entrambi gli archi sono delimitati dall’intervallo:

\[
-2-\frac{1}{\sqrt{10}}\le x\le -2+\frac{1}{\sqrt{10}}.
\]

Occhio destro:

\[
\begin{aligned}
y&=-2(x-2)^2+5{,}2,\\
y&=2(x-2)^2+4{,}8.
\end{aligned}
\]

Entrambi gli archi sono delimitati dall’intervallo:

\[
2-\frac{1}{\sqrt{10}}\le x\le 2+\frac{1}{\sqrt{10}}.
\]

Gli estremi esatti degli intervalli garantiscono la chiusura degli occhi: ciascuna coppia di archi si incontra all’altezza \(y=5\).

La bocca. Costruita al centro del viso con un’ampiezza maggiore per evidenziare l’espressione stupita:

Labbro superiore:

\[
y=-2x^2+3{,}5,\qquad
-\frac{\sqrt{2}}{2}\le x\le\frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

Labbro inferiore:

\[
y=2x^2+1{,}5,\qquad
-\frac{\sqrt{2}}{2}\le x\le\frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

Verifica didattica: ponendo

\[
-2x^2+3{,}5=2x^2+1{,}5,
\]

si ottiene \(4x^2=2\), quindi \(x^2=0{,}5\), da cui le intersezioni esatte in \(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), circa \(\pm0{,}707\). Entrambe le parabole si incontrano all’altezza \(y=2{,}5\).

Con l’aggiunta di queste equazioni, la figura è completamente racchiusa.

L’intera attività si configura come una palestra algebrica dove si unisce l’interpretazione grafica dei coefficienti \(a\) e \(c\) della parabola, la ricerca delle intersezioni per garantire la continuità e la manipolazione delle disequazioni per stabilire i corretti domini.

La sfida per la classe

Questo insieme di equazioni è un eccellente esercizio per distinguere continuità e tangenza: due tratti possono incontrarsi senza condividere la stessa tangente.

Sfida 1: far verificare agli studenti, calcolatrici alla mano, che non ci siano «buchi» nel contorno nei punti di transizione.

Sfida 2: chiedete ai ragazzi di inserire queste equazioni su un software come GeoGebra. Vedere le linee sbalzate e confuse di uno schizzo a mano libera trasformarsi in un perfetto e rigoroso modello geometrico continuo sul piano cartesiano è un’esperienza didattica di grande impatto, ideale per festeggiare Halloween con un pizzico di logica e quel po’ di calcolo matematico!

Paura, eh!!!

Un augurio spaventoso: che i vostri fantasmi siano tutti rigorosamente delimitati da equazioni perfette.

Buon Halloween dal piano cartesiano!

Riferimenti

• Un gatto nel piano cartesiano, Matmedia.
• Halloween, Wikipedia.