Riconoscere le curve, scegliere gli archi, costruire un’immagine. Un’attività didattica per studenti che hanno già studiato la parabola.
Che cosa suggerisce la figura? Quali particolari orientano la nostra interpretazione?
Una figura composta da segmenti e archi di parabola. I numeri identificano i diversi tratti.
Nell’immagine si può riconoscere un gatto seduto, con le orecchie appuntite, i baffi e una lunga coda laterale? Il disegno è composto da segmenti e archi di parabola. La proposta è scoprire come le equazioni possano descrivere questi elementi e come le condizioni sulle coordinate permettano di delimitarli.
L’equazione individua una curva; le condizioni sulle coordinate selezionano il tratto che serve al disegno. È questa l’idea intorno alla quale si sviluppa l’attività, destinata a studenti che abbiano già incontrato la parabola, quindi secondo anno del primo biennio.
La figura e le equazioni
Agli studenti si consegnano la figura con i tratti numerati e l’elenco delle equazioni corrispondenti. Queste sono presentate senza le condizioni che delimitano i tratti e in ordine diverso rispetto alla numerazione del disegno.
La figura dovrà essere corredata di riferimenti numerici sufficienti a individuare gli eventuali estremi dei tratti. Quando le loro coordinate non siano ricavabili con precisione dal disegno o dalle equazioni, si potranno fornire i dati necessari.
Per la rappresentazione si è utilizzata una finestra grafica definita dagli intervalli:
-3\leq x\leq6,\qquad -20\leq y\leq100.
\]
Questi intervalli delimitano la porzione di piano visualizzata. Le condizioni che selezionano i singoli tratti dovranno invece essere individuate dagli studenti, distinguendo gli estremi effettivi dalle interruzioni dovute al bordo della finestra grafica.
Per ottenere proporzioni simili a quelle del disegno, si scelgano scale diverse sui due assi: l’unità sull’asse delle ascisse dovrà avere una lunghezza circa dieci volte maggiore di quella sull’asse delle ordinate.
| Lettera | Equazione o descrizione |
|---|---|
| A | \(y=3x^2\) |
| B | \((y-80)^2=16x-4\) |
| C | \(y=87\) |
| D | \(y=8-16\left(x+\frac54\right)^2\) |
| E | \(y=90+4x^2\) |
| F | \(x=-3\) oppure \(x=3\) |
| G | \(y^2=192-32x\) |
| H | \(y=75+16x^2\) |
| I | Il contorno del triangolo di vertici \((0,79)\), \(\left(-\frac14,83\right)\), \(\left(\frac14,83\right)\). |
| J | \(y=75-3x^2\) |
| K | \((y-80)^2=-16x-4\) |
| L | \(y=8-16\left(x-\frac54\right)^2\) |
La lettera I descrive direttamente un contorno: si può chiedere agli studenti di ricavare le equazioni dei tre segmenti che lo compongono.
La consegna
a) Riconoscere le curve
Associate a ciascun tratto numerato l’equazione corrispondente nell’elenco. Motivate le scelte considerando la posizione, la direzione dell’asse, la concavità, il vertice e le eventuali simmetrie.
Quale equazione corrisponde al tratto 6? Quale al tratto 11? Quali caratteristiche permettono di distinguerle, pur trattandosi di due parabole con asse verticale?
b) Delimitare i tratti
Per ogni equazione individuata, aggiungete le condizioni sulle coordinate necessarie a ottenere soltanto il tratto rappresentato.
Indicate gli estremi degli archi e dei segmenti. Distinguete gli estremi effettivi dai punti nei quali una curva scompare semplicemente perché raggiunge il bordo dell’immagine.
Quando il disegno non permette di decidere se un estremo sia incluso oppure escluso, esplicitate la convenzione adottata.
c) Rappresentare e controllare
Rappresentate con un software le equazioni dell’elenco, prima senza condizioni e poi con quelle che avete individuato. Per confrontare i risultati, mantenete la stessa finestra grafica e le stesse scale.
Il secondo disegno riproduce la figura proposta? Se necessario, correggete gli abbinamenti o le condizioni.
Quali parti delle curve vengono escluse dai vincoli? Spiegate, attraverso un esempio, la differenza tra l’equazione di una curva e la descrizione di un suo arco.
Alcuni spunti per la discussione
L’attività può proseguire scegliendo, in relazione alla classe, alcune delle questioni seguenti.
Condizioni diverse possono selezionare lo stesso arco?
Per il tratto 11 si confrontino:
y=3x^2,\qquad -3\leq x\leq3
\]
e
y=3x^2,\qquad 0\leq y\leq27.
\]
Le due descrizioni individuano lo stesso insieme di punti? Come lo si può giustificare?
Il confronto permette di osservare che, in questo caso, si può delimitare l’arco attraverso le ascisse oppure attraverso le ordinate. Si può poi cercare un esempio nel quale una sostituzione apparentemente analoga selezioni anche punti indesiderati.
Che cosa ci dicono le simmetrie?
Gran parte della figura è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate. Quali tratti si corrispondono? Come si riconosce questa relazione nelle loro equazioni?
Si confrontino, per esempio, le espressioni:
y=8-16\left(x-\frac54\right)^2
\]
e
y=8-16\left(x+\frac54\right)^2.
\]
Come cambiano il vertice e l’intervallo che delimita ciascun arco? Quale parte del disegno interrompe la simmetria complessiva?
Dove finisce la coda?
La curva cui appartiene la coda ha equazione:
y^2=192-32x.
\]
Consideriamo la condizione \(y<12\). Quale parte della parabola viene selezionata? Questa condizione esclude i punti con ordinata maggiore o uguale a 12, ma non impone alcun limite inferiore.
Il tratto così individuato prosegue dunque anche oltre il bordo inferiore dell’immagine: la finestra grafica ne mostra soltanto una parte.
La distinzione è utile anche durante il lavoro con il software: ciò che non compare sullo schermo non è necessariamente escluso dalle condizioni matematiche. Che cosa cambierebbe sostituendo \(y<12\) con \(y\leq12\)? Individuate il punto che appartiene al secondo insieme e non al primo. Per distinguere le due scelte nel disegno occorre indicare se quel punto è incluso oppure escluso.
È il grafico di una funzione?
La figura complessiva può essere il grafico di una funzione \(y=f(x)\)?
Si traccino alcune rette parallele all’asse delle ordinate: ciascuna incontra il disegno al massimo in un punto oppure qualcuna lo incontra in più punti? Che cosa permette di concludere questa osservazione?
Si ripeta l’esame per i singoli tratti numerati, individuando quelli che possono essere grafici di una funzione di \(x\). Si ricordi che, per esserlo, a ogni ascissa del dominio deve corrispondere una sola ordinata.
Quanto contano le scale?
Nella figura le unità grafiche sui due assi hanno lunghezze diverse. Come cambia l’immagine rappresentando le stesse equazioni con unità della stessa lunghezza?
Il confronto permette di distinguere le proprietà delle curve dalle proporzioni con cui esse appaiono nel disegno.
Dalla lettura al progetto
Si può concludere chiedendo agli studenti di modificare un particolare della figura, scrivendo le nuove equazioni e le condizioni necessarie a descriverlo.
Il passo successivo è progettare un’altra immagine utilizzando segmenti e archi di parabola. Ogni gruppo consegna a un altro le equazioni e i vincoli, specificando la finestra grafica e le scale: la ricostruzione corrisponde al progetto?
L’attività porta così dall’interpretazione di una figura alla sua costruzione. I coefficienti determinano la forma e la posizione delle curve; le condizioni selezionano le parti da utilizzare. Il disegno rende visibili gli effetti delle scelte algebriche e offre agli studenti la possibilità di prevederli, discuterli e verificarli.
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