Dall’Algebra all’Analisi. Un problema di Ferrari e Tartaglia, dalla disputa del 1547 alla maturità del 2015

Uno dei quesiti della traccia di matematica della maturità scientifica 2015 (calendario boreale) riproponeva, a distanza di quasi cinque secoli, un problema che Ludovico Ferrari pose a Niccolò Tartaglia nel 1547:

“Si divida il numero 8 in 2 numeri reali non negativi in modo che sia massimo il prodotto di uno per l’altro e per la loro differenza”.

Le soluzioni sono state ottenute con la collaborazione di ChatGPT, lodevole nel suo compito di assistente di cattedra.

1. Soluzione “rinascimentale” (senza derivate)

Sia \(x,y\ge 0\) con \(x+y=8\). Senza perdita di generalità poniamo \(x\ge y\), così \(x-y\ge 0\).
Vogliamo massimizzare
\[
P(x,y)=x\,y\,(x-y).
\]

Poniamo
\[
x=4+d,\qquad y=4-d,\qquad d\in[0,4].
\] Allora
\[
xy=16-d^2,\qquad x-y=2d,
\] e
\[
P(d)=xy(x-y)=(16-d^2)\,(2d)=32d-2d^3.
\]

Come trovare il massimo senza derivate?

Per capire dove \(P(d)\) raggiunge il massimo, cerchiamo di riscrivere l’espressione come un numero fisso meno qualcosa che non può mai essere negativo. Consideriamo
\[
M-P(d)=\frac{256}{3\sqrt3}-(32d-2d^3).
\] Con un semplice riordino algebrico si ottiene la fattorizzazione
\[
M-P(d)=2\Bigl(d-\tfrac{4}{\sqrt3}\Bigr)^{2}\Bigl(d+\tfrac{8}{\sqrt3}\Bigr).
\] Poiché a destra c’è un quadrato moltiplicato per un termine positivo (infatti \(d+\tfrac{8}{\sqrt3}>0\) in \([0,4]\)), la differenza è sempre \(\ge 0\) e si annulla solo quando \(d=\tfrac{4}{\sqrt3}\).

Risultato:
\[
x=4+\tfrac{4}{\sqrt3},\qquad y=4-\tfrac{4}{\sqrt3},\qquad
P_{\max}=\tfrac{256\sqrt3}{9}\approx 49.27.
\]

2. Altre vie algebriche

2.1 Una sostituzione

Dal vincolo \(y=8-x\) segue
\[
P(x)=x(8-x)\bigl(x-(8-x)\bigr)=2x(8-x)(x-4)=-2x^3+24x^2-64x.
\] Per collegare esplicitamente questa forma al caso del paragrafo 1, poniamo \(x=4+d\):
\[
P(4+d)=-2(4+d)^3+24(4+d)^2-64(4+d)=32d-2d^3,
\] esattamente la stessa espressione in \(d\) già studiata.

2.2 Parametro di rapporto

Poniano
\[
k=\frac{y}{x},\qquad 0\le k\le 1.
\] Dal vincolo \(x+y=8\) ricaviamo
\[
x=\frac{8}{1+k},\qquad y=\frac{8k}{1+k},
\] e quindi
\[
P(k)=\frac{512\,k(1-k)}{(1+k)^3}.
\] Per evitare qualsiasi richiamo al calcolo, introduciamo il cambio di variabile
\[
t=\frac{1-k}{1+k},
\] che trasforma l’espressione in un cubo algebrico semplice, del tutto analogo a quelli già studiati nei casi precedenti. L’analisi algebrica mostra che il massimo si raggiunge per \(t=\tfrac{1}{\sqrt3}\), ossia per
\[
k=2-\sqrt3.
\] Di conseguenza:
\[
x=\frac{8}{1+k}=4+\frac{4}{\sqrt3},\qquad y=kx=4-\frac{4}{\sqrt3}.
\]

2.3 Somma e differenza

Poniamo
\[
S=x+y=8,\qquad D=x-y\in[0,8].
\] Allora
\[
xy=\frac{S^2-D^2}{4}=\frac{64-D^2}{4},\qquad
P(D)=xy\cdot D=\frac{(64-D^2)D}{4}=16D-\frac{1}{4}D^3.
\] Siamo di nuovo davanti a un cubo. Con argomenti analoghi al caso \(d\) (oppure osservando che la trasformazione \(D=2d\) riconduce alla stessa struttura), si trova il massimo per
\[
D=\frac{8}{\sqrt3}.
\] Quindi
\[
x=\frac{S+D}{2}=4+\frac{4}{\sqrt3},\qquad y=\frac{S-D}{2}=4-\frac{4}{\sqrt3}.
\]

3. La via delle derivate (più rapida, ma moderna)

Con il calcolo differenziale il risultato si ottiene in poche righe:
\[
P(x)=2x(8-x)(x-4)=-2x^3+24x^2-64x,\qquad
P'(x)=-6x^2+48x-64=0.
\] Le soluzioni sono
\[
x=4\pm \frac{4}{\sqrt3},
\] e il massimo (interno) corrisponde a \(x=4+\tfrac{4}{\sqrt3}\), con \(y=8-x\).

Conclusione

Il problema di Ferrari e Tartaglia, ripreso all’Esame di Stato 2015, mostra l'evoluzione della matematica e la ricchezza dei metodi: la via algebrica (simmetria, una variabile, rapporto, somma–differenza) e la via differenziale, rapida ed elegante. Strade diverse, stessa meta:
\[
(x,y)=\bigl(4+\tfrac{4}{\sqrt3},\,4-\tfrac{4}{\sqrt3}\bigr),\quad
P_{\max}=\tfrac{256\sqrt3}{9}.
\]