Un’equazione di quarto grado dipendente da un parametro. Un esercizio antico affrontato con gli strumenti della modernità.
Nella didattica della matematica è buona consuetudine proporre, di tanto in tanto, esercizi più impegnativi per saggiare le conoscenze degli studenti e guidarli in un lavoro collettivo di cooperazione alla ricerca di una o più vie risolutive.
L’esercizio che segue è un esempio di questo approccio: un’equazione di quarto grado a coefficienti parametrici, la cui risoluzione completa richiede intuito algebrico e capacità di analisi strutturale.
Classico nell’ambito dello studio dell’algebra, la sua soluzione è stata affrontata con entrambi gli strumenti, dell’algebra e dell’analisi, utilizzando anche i software GeoGebra e Wolfram, e con il contributo di ChatGPT, cui si devono:
- alcune espressioni nuove come “a braccia alzate”,
- un lavoro “sperimentale” di osservazione delle modifiche grafiche indotte dai singoli termini dell’equazione.
- la scelta di un sistema di riferimento non monometrico per i grafici.
L'esercizio
Determinare per quali valori di \( \beta \) l’equazione
\[
x^4 + \beta x^3 - 10x^2 + \beta x + 1 = 0
\]
ammette quattro radici reali.
Primo approccio: riconoscere la struttura del polinomio
Il polinomio è reciproco (o palindromo): i suoi coefficienti sono simmetrici rispetto al termine centrale. Questo implica che, se \( r \) è radice, anche \( \frac{1}{r} \) lo è. Le radici quindi si presentano in coppie del tipo \( r, \frac{1}{r}, s, \frac{1}{s} \).
\[
r \cdot \frac{1}{r} \cdot s \cdot \frac{1}{s} = 1
\]
Questo è coerente con il termine noto dell’equazione, che è 1. Infatti, per un polinomio di quarto grado monico:
\[
\frac{\text{termine noto}}{\text{coefficiente di } x^4} = \frac{1}{1} = 1
\]
Cerchiamo dunque una fattorizzazione del tipo:
\[
(x^2 - \alpha x + 1)(x^2 - \gamma x + 1)
\]
Sviluppando:
\[
x^4 - (\alpha + \gamma)x^3 + (\alpha\gamma + 2)x^2 - (\alpha + \gamma)x + 1
\]
Confrontando con il polinomio dato, otteniamo:
\[
\alpha + \gamma = -\beta, \quad \alpha\gamma = -12
\]
Affinché il polinomio abbia quattro radici reali, entrambi i trinomî quadratici:
\[
x^2 - \alpha x + 1, \quad x^2 - \gamma x + 1
\]
devono avere discriminante maggiore o uguale a zero:
\[
\alpha^2 - 4 \geq 0, \quad \gamma^2 - 4 \geq 0
\]
cioè:
\[
|\alpha| \geq 2, \quad |\gamma| \geq 2
\]
Poiché \( \alpha\gamma = -12 < 0 \), i due numeri hanno segni opposti. Senza perdita di generalità, assumiamo \( \alpha > 0 \), quindi:
\[
\gamma = -\frac{12}{\alpha} < 0 \] Le condizioni \(|\alpha| \geq 2\) e \(|\gamma| \geq 2\) portano a: \[ 2 \leq \alpha \leq 6, \quad -6 \leq \gamma \leq -2 \]
Dalla relazione \(\beta = -(\alpha + \gamma)\) segue: \[ \beta = -\left(\alpha - \frac{12}{\alpha}\right) \] La funzione \( g(\alpha) = \alpha - \frac{12}{\alpha} \) è crescente per \( \alpha > 0 \), quindi su \([2, 6]\) assume valori da \(-4\) a \(4\).
Pertanto:
\[
-4 \leq \beta \leq 4
\]
La condizione per avere quattro radici reali è quindi:
\[
\boxed{|\beta| \leq 4}
\]
Se \( |\beta| < 4 \) le quattro radici sono tutte distinte; se \( |\beta| = 4 \) una radice è doppia in \( x = \pm 1 \).
Approccio mediante lo studio della funzione e l’attività laboratoriale
Consideriamo la funzione:
\[
f(x) = x^4 + \beta x^3 - 10x^2 + \beta x + 1
\]
1. L'andamento generale
\[
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty
\]
Infatti, per \(|x|\) molto grande il termine dominante è \(x^4\), sempre positivo sia per \(x > 0\) sia per \(x < 0\).
Questo garantisce che il grafico "sale" a sinistra e a destra (“braccia alzate”, forma a W ).
2. Il numero delle radici reali
Un polinomio di quarto grado può avere 0, 2 o 4 radici reali.
Per averne 4, il grafico deve avere due minimi locali separati da un massimo locale, e i due minimi devono trovarsi sotto l’asse \(x\).
3. Studio qualitativo
La derivata prima è:
\[
f'(x) = 4x^3 + 3\beta x^2 - 20x + \beta
\]
L’analisi di questa cubica consente di determinare le posizioni dei punti critici e anche di ricavare la soglia di \( \beta \) oltre la quale non si hanno più quattro radici reali. Si può fare calcolando le coordinate dei punti di minimo locali, risolvendo f'(x)=0 e imponendo che entrambi abbiano ordinata ≤ 0. Questo porta, dopo un po’ di algebra, alla stessa condizione per il parametro
4. Modalità laboratoriale
In alternativa si può seguire la strada sperimentale: limitarsi a osservare e verificare visivamente il risultato già trovato con l’approccio algebrico, consolidando la comprensione. Senza entrare nei calcoli dettagliati si osserva graficamente come varia il numero di radici reali al variare di . In questo caso si esplicita che stiamo verificando in laboratorio un risultato trovato algebricamente. Questa indagine può essere svolta in laboratorio di matematica con un software grafico (GeoGebra, Desmos, Wolfram, ecc.) che permetta di far variare \( \beta \) in tempo reale e osservare come si deforma la curva:
- Se \( |\beta| < 4 \) la curva ha forma a W con i due minimi sotto l’asse ⇒ 4 radici reali distinte.
- Se \( |\beta| = 4 \) uno dei minimi tocca l’asse ⇒ radice doppia.
- Se \( |\beta| > 4 \) uno dei minimi resta sopra l’asse ⇒ solo 2 radici reali.
I seguenti grafici sono stati ottenuti con Geogebra
Grafico per β=0
I seguenti sono stati forniti da ChatGPT scegliendo riferimenti non monometrici:
Nota storica
Questo esercizio così come proposto compare in una raccolta "per la scuola" pubblicata da Davide Besso, in un momento in cui il sistema scolastico italiano stava prendendo forma dopo l’Unità. La raccolta di esercizi è presente già dai primi fascicoli del Periodico di Matematica, fondato nel 1886 e poi divenuto Periodico di Matematiche dal 1921.
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