Le equazioni parametriche nelle prove di maturità scientifica. L’importanza didattica di discutere le soluzioni di un’equazione.
I problemi con parametri, in generale, sono molto comuni nei percorsi didattici e compaiono spesso nelle prove d’esame. Permettono, infatti, di esplorare in profondità alcune conoscenze matematiche degli studenti, consentono di individuare le loro abilità nel problem solving, possono spaziare in diversi contesti e a vari livelli. Alcuni esempi:
1.Determinare
- i coefficienti di un’equazione algebrica di secondo grado, note alcune condizioni a cui devono soddisfare le radici;
- l’ equazione cartesiana di una curva algebrica o trascendente imponendo opportune condizioni;
- l’equazione cartesiana di un luogo geometrico;
- la matrice di una trasformazione lineare.
2. Discutere l’esistenza delle soluzioni di un’equazione o di un sistema di equazioni o disequazioni
3. Analizzare le proprietà di curve algebriche o trascendenti le cui equazioni dipendono da parametri, al variare dei parametri stessi(anche nell’ambito di modelli matematici per le scienze applicate o nella teoria delle variabili aleatorie).
4. Integrare alcune equazioni differenziali.
Quando si parla di discussione di un’equazione parametrica si pensa, invece, il più delle volte, ad un esercizio di tipo meccanico e ripetitivo, se non sterile e fine a se stesso. Si è già parlato su Matmedia, dei «vecchi» problemi, criticati da Bruno de Finetti, in cui si partiva generalmente da un problema geometrico e si arrivava a un’equazione risolvente di secondo grado parametrica, le cui radici dovevano appartenere a un determinato intervallo. L’esistenza delle soluzioni accettabili veniva discussa con metodi algebrici che sfruttavano i teoremi relativi agli zeri e al segno di un trinomio di secondo grado (come il metodo di Cartesio e il metodo di Tartinville), che però finivano per essere applicati meccanicamente.
In tempi più recenti le discussioni utilizzano metodi grafici che sfruttano le proprietà delle curve algebriche di secondo grado o, più in generale, delle funzioni. Nelle tracce spesso compaiono equazioni o sistemi parametrici di grado superiore al secondo o anche trascendenti.
In questo periodo in cui si torna ancora a discutere dei contenuti e della struttura della seconda prova, vale la pena ricordare che la riforma andata in vigore nel 2001, con l’introduzione di una sezione dedicata ai quesiti, ha permesso agli estensori delle prove di sperimentare una maggiore flessibilità nelle formulazioni, le quali raramente ricordavano tipologie stereotipate.
Cogliamo l’occasione per riflettere, sulla base di alcune delle tracce assegnate agli esami di Stato negli ultimi decenni, sui vari approcci alla discussione di equazioni parametriche e a quali obiettivi di apprendimento possano essere tuttora associate.
Le tracce del 2006
Alcuni esempi significativi nell’ambito delle funzioni polinomiali
Altri esempi di tracce sulle equazioni parametriche
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