Varianti e approfondimenti. Dal metodo dei coefficienti parziali alla simmetria, fino alla generalizzazione: altre strade per scoprire le stesse radici
Sulla scorta di quanto ci ha segnalato la professoressa Adriana Lanza, riprendiamo l’equazione proposta in Un altro esercizio per legare algebra e analisi:
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-5}=0,
\qquad x\neq 0,1,2,3,4,5.
\]
Nella sua nota la professoressa Lanza, che nell'ideale albo d’oro degli insegnanti di matematica e fisica occupa da tempo un posto d'onore, ha osservato quanto segue:
Algebra e analisi sono spesso relegate al ruolo di “cassette degli attrezzi” per risolvere problemi di varia natura e in questo caso è sufficiente utilizzare un software, eventualmente ad elaborazione grafico-simbolica. Nell’esercizio in questione algebra e analisi si supportano a vicenda e il centro di interesse non è il risultato ma la sfida della ricerca di una strategia risolutiva. Ai tempi di Besso si trattava di una vera e propria sfida tra gli appassionati di matematica.
Fine a se stessa? Non proprio. Forse vale la pena notare che l’IA sfrutta il patrimonio intellettuale umano, accumulato nel corso dei secoli. Dobbiamo pertanto coltivare lo stimolo ad occuparci di questioni “inutili”, eventualmente col supporto (ben mirato) dell’IA.
La professoressa Lanza ha premesso:
Ho provato anch'io a far risolvere l’equazione a ChatGPT. Effettivamente è in grado di utilizzare vari artifici e alla fine arriva alla soluzione di una biquadratica.
Siamo ricorsi allora ancora a ChatGPT che ci ha assistito con efficacia nella nostra ricerca mostrandoci, con le varianti qui di seguito riportate, come uno stesso esercizio possa diventare terreno fertile per diversi percorsi: algebrici, grafici, simmetrici o generali. Questa pluralità di linguaggi porta inevitabilmente a chiedersi, in forma più generale: come intrecciare algebra, analisi, grafico, calcolo numerico ... in un’unica didattica della matematica?
1. Metodo dei coefficienti parziali (denominatore comune)
L’equazione originale può essere portata a denominatore comune:
\[
\sum_{k=0}^5 \frac{1}{x-k} = \frac{Q(x)}{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}=0.
\]
Il denominatore è un polinomio di grado 6, quindi il numeratore \(Q(x)\) è un polinomio di quinto grado.
In simboli:
\[
\deg(Q)=5,
\]
dove \(\deg\) è l’abbreviazione internazionale di degree (inglese per “grado”): significa semplicemente che «il polinomio \(Q(x)\) ha grado 5».
Questo approccio mostra la complessità “bruta” dell’impostazione tradizionale e rende ancora più evidente il vantaggio del metodo elegante basato su \(P'(x)/P(x)\).
2. Simmetria come metodo autonomo
Senza introdurre \(P(x)\), si può osservare subito che:
\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5} = \frac{2x-5}{x(x-5)}, \quad
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-4} = \frac{2x-5}{(x-1)(x-4)}, \quad
\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3} = \frac{2x-5}{(x-2)(x-3)}.
\]
L’equazione diventa quindi
\[
(2x-5)\left[\frac{1}{x(x-5)} + \frac{1}{(x-1)(x-4)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)}\right]=0.
\]
- Si individua immediatamente la soluzione \(x=\tfrac{5}{2}\).
- Gli altri quattro zeri provengono dal fattore tra parentesi quadre.
Sviluppo algebrico del fattore
Indichiamo
\[
S(x)=\frac{1}{x(x-5)}+\frac{1}{(x-1)(x-4)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}.
\]
Portando a denominatore comune \(D(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)\), si ottiene
\[
S(x)=\frac{N(x)}{D(x)},
\]
con
\[
\begin{aligned}
N(x)
=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
\quad +\,x(x-2)(x-3)(x-5)
\quad +\,x(x-1)(x-4)(x-5)
\end{aligned}
\]
Sviluppando:
\[
N(x)=3x^4-30x^3+95x^2-100x+24.
\]
Dunque, oltre alla radice centrale \(x=\tfrac{5}{2}\), le altre quattro soluzioni corrispondono agli zeri di \(N(x)=0\).
Simmetria delle radici
Ponendo \(x=y+\tfrac{5}{2}\):
\[
N(y+\tfrac{5}{2})=3y^4-\tfrac{35}{2}y^2+\tfrac{259}{16},
\]
che contiene solo potenze pari di \(y\).
Poniamo \(z=y^2\):
\[
3z^2-\tfrac{35}{2}z+\tfrac{259}{16}=0,
\]
da cui
\[
z=\frac{35}{12}\ \pm\ \frac{2}{3}\sqrt{7}, \qquad
y=\pm\sqrt{z}, \qquad
x=\tfrac{5}{2}\pm y.
\]
Valori numerici
\[
x\approx 0.3365534733,\quad 1.4262996418,\quad 3.5737003582,\quad 4.6634465267,
\]
in coppie simmetriche rispetto a \(2.5\).
3. Approccio grafico puro
Si considera la funzione
\[
f(x)=\sum_{k=0}^5 \frac{1}{x-k}.
\]
- È somma di sei curve iperboliche con asintoti verticali in \(0,1,2,3,4,5\).
- Su ciascun intervallo \((k,k+1)\), \(f(x)\) varia da \(-\infty\) a \(+\infty\) o viceversa, quindi attraversa necessariamente l’asse \(x\).
- Ne segue subito che esiste uno zero in ogni intervallo, senza calcoli.
In classe: con GeoGebra si può far variare la finestra grafica e osservare le intersezioni reali, evidenziando il passaggio da polo a polo.
4. Generalizzazione a \(n\) termini
L’esercizio proposto da Besso è solo il caso \(n=5\) della più generale equazione:
\[
\sum_{k=0}^n \frac{1}{x-k}=0.
\]
- Per analogia, se poniamo \(P(x)=\prod_{k=0}^n (x-k)\), allora
\[
\sum_{k=0}^n \frac{1}{x-k}=\frac{P'(x)}{P(x)}.
\]
- Applicando Rolle: \(P'\) ha grado \(n\) e dunque n zeri reali, uno in ciascun intervallo \((k,k+1)\) per \(k=0,\dots,n-1\).
- In particolare, l’equazione ammette sempre n soluzioni reali.
Per \(n=5\) abbiamo i 5 zeri già discussi; per \(n=6\) ci sarebbero 6 zeri, e così via.
Questa osservazione apre la strada a una trattazione più generale, utile anche per studenti avanzati.
5. Spunti didattici
- Mostrare agli studenti i tre approcci (brutalmente simbolico/muto, simmetria, grafico) e confrontarli.
- Evidenziare la generalizzazione: “non è un problema isolato, ma il caso particolare di una famiglia infinita”.
- Proporre come attività di laboratorio la costruzione con GeoGebra per vari \(n\), verificando che gli zeri cadono sempre tra gli interi consecutivi.
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