Un classico esercizio con frazioni algebriche per legare insieme algebra e analisi: logaritmo del prodotto, teorema di Rolle e simmetria gli strumenti per scoprire le soluzioni
Dopo aver analizzato, in articoli precedenti (ultimamente in Un esercizio elegante tra algebra e analisi e Un’equazione buona per fare matematica), alcuni esercizi di algebra provenienti da classiche raccolte, ne affrontiamo ora un altro: si tratta di una somma di frazioni algebriche che, a prima vista, sembra complicata; ma attraverso il logaritmo del prodotto, il teorema di Rolle e la simmetria rivela tutta la sua eleganza e la ricchezza di collegamenti tra algebra e analisi.
Risolvere l’equazione:\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-5}=0,
\qquad x\neq 0,1,2,3,4,5.
\]
Soluzione (con le derivate)
Posto
\[
P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).
\]
Allora
\[
\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_{k=0}^{5}\frac{1}{x-k}.
\]
La nostra equazione è dunque equivalente a
\[
\frac{P'(x)}{P(x)}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad P'(x)=0,
\qquad x\notin\{0,1,2,3,4,5\}.
\]
Quante le soluzioni? Dove stanno?
\(P\) è di grado 6 con zeri semplici in \(0,1,2,3,4,5\).
Per il teorema di Rolle, \(P'\) ha almeno uno zero in ciascun intervallo aperto tra due zeri consecutivi di \(P\). Poiché \(\deg P'=5\), gli zeri sono esattamente cinque, tutti reali, uno in ciascuno degli intervalli:
\[
(0,1),\ (1,2),\ (2,3),\ (3,4),\ (4,5).
\]
Simmetria e radice centrale
Definiamo
\[
f(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{1}{x-k}.
\]
Si verifica che
\[
f(5-x)=-f(x)
\]
(basta sostituire \(x\mapsto 5-x\) e accoppiare i termini \(k\) con \(5-k\)).
Quindi \(f\) è **dispari** rispetto a \(x=\tfrac{5}{2}\), e dunque
\[
f\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=0 \ \Longrightarrow\ x=\tfrac{5}{2}
\]
è una delle soluzioni (quella nell’intervallo \((2,3)\)).
Un modo equivalente, molto trasparente, è accoppiare i termini:
\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{2x-5}{x(x-5)},\qquad
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-4}=\frac{2x-5}{(x-1)(x-4)},\qquad
\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}=\frac{2x-5}{(x-2)(x-3)}.
\]
La somma diventa
\[
(2x-5)\!\left[\frac{1}{x(x-5)}+\frac{1}{(x-1)(x-4)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}\right]=0,
\]
da cui si vede subito la soluzione centrale \(x=\tfrac{5}{2}\).
Gli altri quattro zeri (uno in ciascuno degli intervalli \((0,1), (1,2), (3,4), (4,5)\)) corrispondono agli zeri del fattore tra quadre, e sono garantiti da \(P'(x)=0\) (Rolle). Per simmetria valgono a coppie: se \(r\in(0,1)\) è soluzione, lo è anche \(5-r\in(4,5)\); se \(r\in(1,2)\), allora \(5-r\in(3,4)\).
Tabella delle soluzioni approssimate (metodo di Newton)
Le quattro radici non centrali si determinano numericamente (ad es. con Newton partendo dai punti medi degli intervalli).
| Intervallo | \(x_0\) (iniziale) | Radice approssimata |
|---|---:|---:|
| \((0,1)\) | \(0.5\) | \(0.3365534733\) |
| \((1,2)\) | \(1.5\) | \(1.4262996418\) |
| \((3,4)\) | \(3.5\) | \(3.5737003582\) |
| \((4,5)\) | \(4.5\) | \(4.6634465267\) |
Per simmetria rispetto a \(x=\tfrac{5}{2}\), le radici si accoppiano come segue:
\[
0.3365534733 \longleftrightarrow 4.6634465267,\qquad
1.4262996418 \longleftrightarrow 3.5737003582.
\]
Nota: la radice centrale è esatta e vale
\[
x=\tfrac{5}{2}=2.5.
\]
Commento didattico (idee per la classe)
- Logaritmo del prodotto: mostrare che \(\dfrac{d}{dx}\log P(x)=\dfrac{P'(x)}{P(x)}=\sum \dfrac{1}{x-k}\) è un ponte concettuale potente tra prodotto e somma di frazioni.
- Rolle e localizzazione degli zeri: la struttura degli intervalli \((k,k+1)\) è un ottimo uso di Analisi per un problema apparentemente “di Algebra”.
- Simmetria: la trasformazione \(x\mapsto 5-x\) spiega subito la radice centrale \(x=\tfrac{5}{2}\) e l’organizzazione a coppie delle altre soluzioni.
- Attività laboratoriale: con uno slider sugli intervalli è facile osservare come \(f(x)\) cambi segno attraversando ciascun intervallo e dove cade lo zero.
L'esercizio proposto e svolto fa anch'esso parte della raccolta proposta da Davide Besso nel 1886 sul Periodico di Matematica. Soluzione, grafico e commento didattico si devono però a ChatGPT che ha bene svolto il suo ruolo di assistente alla cattedra di matematica.
A ChatGPT si deve anche la seguente postilla sulla notazione \(\deg\)
Il termine grado deriva dal latino gradus (“passo, grado”).
La notazione \(\deg\) invece è un’abbreviazione di *degree* (inglese per “grado”), oggi standard in algebra per indicare il grado di un polinomio.
In algebra contemporanea (XIX–XX secolo) si è affermata come simbolo compatto, usato in particolare nei testi internazionali.
Si scrive ad esempio
\[
\deg P(x)=n
\]
per dire che “il polinomio \(P(x)\) ha grado \(n\)”.
In italiano, nei manuali più classici si trova la dizione “grado di \(P(x)\)”, mentre nei testi più formali è ormai comune l’uso della notazione \(\deg\).
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